Cómo mostrar $\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\le S_h\sqrt[n]{a_1\cdots a_n}$

Question

Para números positivos $a_i$ $0<m\le a_i\le M$, cómo mostrar $$\frac{a_1+\cdots+a_n}{n}\le S_h\sqrt[n]{a_1\cdots a_n},$$ where $h=M/m$ and $$S_h=\frac{(h-1)h^{\frac{1}{h-1}}}{e\log h}$$

Answer 1

Vamos $$f(b_1,\dots,b_n)=\frac{b_1^n+\dots+b_n^n}{nb_1\dots b_n},\quad \text{para $b_i\in [\sqrt[n]{m}, \sqrt[n]{M}]$}$$ $f$ es una función convexa para cada variable, por lo tanto, el máximo se alcanza en la frontera $$\max f=\max_{s+t=n} \frac{sm+tM}{n \sqrt[n]{m^s}\sqrt[n]{M^t}}\le \max_{i\in [0, 1]} rh^{i-1}+(1-r)h^r.$$ Queda por considerar la función de $g(r)=rh^{r-1}+(1-r)h^r,\, r\in [0, 1]$.

El siguiente es hecho con la ayuda de http://www.wolframalpha.com/ (h=3, h=4, h=5, h=6). Desde $$g'(r)=h^{r-1}\big[(-hr+h+r) \log(h)-h+1 \big],$$ poner $g'(r)=0$, obtenemos $$\max g=S_h,$$ completar la prueba.