Para números positivos ai 0<m≤ai≤M, cómo mostrar a1+⋯+ann≤Shn√a1⋯an, where h=M/m and Sh=(h−1)h1h−1elogh
Respuesta
¿Demasiados anuncios?Vamos f(b1,…,bn)=bn1+⋯+bnnnb1…bn,para bi∈[n√m,n√M] f es una función convexa para cada variable, por lo tanto, el máximo se alcanza en la frontera max Queda por considerar la función de g(r)=rh^{r-1}+(1-r)h^r,\, r\in [0, 1].
El siguiente es hecho con la ayuda de http://www.wolframalpha.com/ (h=3, h=4, h=5, h=6). Desde g'(r)=h^{r-1}\big[(-hr+h+r) \log(h)-h+1 \big], poner g'(r)=0, obtenemos \max g=S_h, completar la prueba.