¿Es $m=n+1$ la mayor $m$tal que $S_m$el % tiene una acción fiel en $\mathbb{Z}^n$?

Question

Puedo escribir una fiel acción de $S_{n+1}$$\mathbb{Z}^n$. Es decir, sé que de una forma explícita de dar un homomorphism de $S_{n+1}$ $GL(n,\mathbb{Z})$que tiene un trivial kernel. Un ejemplo de esto es la siguiente, aunque estoy seguro de que hay muchos otros.

Puede ser hecho con $S_{n+2}$, tal vez por el justo valor de $n$? Hay grandes grupos simétricos de a $S_{n+1}$ que puede actuar fielmente en $\mathbb{Z}^n$ si $n$ tiene el valor correcto? O $S_{n+2}$ nunca actuar fielmente en $\mathbb{Z}^n$?

Las órdenes de máximo finito subgrupos de $GL(n,\mathbb{Z})$ $n=2,3,4,5$ que se tabulan aquí implica que para estos $n$ valores de, al menos, la respuesta es negativa, puesto que $(n+2)!$ nunca divide el orden de los subgrupos.

(Un ejemplo de una $S_{n+1}$-acción es identificar a $\mathbb{Z}^n$ con polinomios de grado $n-1$ o menos, permutar las $n+1$ coeficientes de $p(x)\cdot(x-1)$, y luego se divide por $(x-1)$ que seguirá siendo un factor después de la permuting.)

Answer 1

Aquí está razonablemente primaria argumento que demuestra que $m \le 2n+3$. Por Bertrand postulado de que hay un primer $p$$n+2$$2n+3$. A continuación, $S_p$ contiene un elemento de orden $p$. polinomio característico de una matriz de enteros de orden $p$ es necesariamente divisible por el cyclotomic polinomio $\Phi_p(x) = x^{p-1} + ... + 1$, que es irreducible, por lo que si dicha matriz es$n \times n$, a continuación, llegamos a la conclusión de que $p-1 \le n$, lo que contradice $p \ge n+2$. Por lo tanto $S_p$ no se puede incrustar en $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$.

(Asintóticamente que en realidad esperan que no es una de las principales entre el $n$ $n + O(\sqrt{n})$ $m$ recibe bastante cerca de a $n$ grandes $n$.)

He aquí un tonto argumento que demuestra que $m \le n+6$$n \ge 2$. Condicional en Goldbach de la conjetura (nunca pensé que llegaría a ver a mí mismo escribir eso!!!), uno de $\{ n+3, n+4, n+5, n+6 \}$ es la suma de dos distintos números primos $p$$q$. Escribir $m = p+q$. Por lo tanto $S_m$ contiene el producto de un ciclo de orden de $p$ y un ciclo de orden de $q$. El polinomio característico de una matriz de enteros con esta propiedad es divisible por el producto de $\Phi_p(x) \Phi_q(x)$, por lo que si dicha matriz es$n \times n$, a continuación, llegamos a la conclusión de que $p + q - 2 \le n$, lo que contradice $p + q \ge n+3$. Por lo tanto $S_m$ no se puede incrustar en $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$.

De acuerdo a Wikipedia, el más pequeño de representaciones irreducibles de $S_m$ de dimensión mayor que $1$ tiene dimensión, al menos,$m-1$$m \ge 7$, por lo que su conjetura es correcta para todos los $n \ge 5$. De hecho, este resultado demuestra que el $S_{n+2}$ no se puede incrustar en $\text{GL}_n(\mathbb{C})$, digamos $\text{GL}_n(\mathbb{Z})$.