¿Establece la analogía entre los números primos y singleton?

Question

Al intentar-en vano-para escribir una respuesta alternativa para otra pregunta (Si $\cup \mathcal{F}=A$$A \in \mathcal{F}$. Demostrar que $A$ tiene exactamente un elemento.), Descubrí la siguiente propiedad de los conjuntos de: $$A \textrm{ is a singleton set} \;\equiv\; \langle \forall B : B \subseteq A : B = \emptyset \;\not\equiv\; B = A \rangle$$ and I noticed the similarity to the following definition for positive whole numbers: $$n \textrm{ is prime} \;\equiv\; \langle \forall d : d \textrm{ divides } n : d = 1 \;\not\equiv\; d = n\rangle$$ por Lo que se ve como singleton conjuntos de actuar un poco como los números primos. Lo cual no es extraño, ahora que lo pienso de ella, dado que ambos son "átomos indivisibles" de algún tipo.

Entonces, ¿qué teoría común que subyace bajo los conceptos de la indivisibilidad?

Answer 1

Podemos unificar las dos definiciones pasando a su común generalización en el fin de la teoría. Para empezar, tenga en cuenta que el conjunto de $\mathscr{P} (X)$ de todos los subconjuntos de un conjunto fijo $X$ está parcialmente ordenado por la inclusión, y el conjunto de $P$ de todos los enteros positivos pueden ser parcialmente ordenado por la divisibilidad, y que tanto $\mathscr{P} (X)$ $P$ tiene una parte inferior del elemento ( $\emptyset$ $1$ , respectivamente).

Por otra parte, tanto en $\mathscr{P} (X)$ $P$ tienen la propiedad de que, para cualquier par de elementos de a$a$$b$, existe un único elemento $a \vee b$ tal que, para todos los $c$ $a \le c$ y $b \le c$, $a \vee b \le c$. En el caso de $\mathscr{P} (X)$, esta es la operación de la toma de la unión de dos subconjuntos, y en el caso de $P$, esta es la operación de tomar el l.c.m. de dos números. Un conjunto parcialmente ordenado con una parte inferior del elemento $\bot$ e esta operación binaria $\vee$ es unirse a semilattice.

Definición. Un indecomposable elemento de una combinación semilattice $L$ es un elemento $c$ de manera tal que, si $c = a \vee b$, entonces cualquiera de las $a = \bot$ o $a = c$ (pero no tanto!).

Como usted ha observado, la indecomposable elementos de $\mathscr{P} (X)$ son precisamente el singleton subconjuntos, y el indecomposable elementos de $P$ son precisamente los números primos.

Answer 2

Deje $P$ ser el conjunto de todos los números primos, y deje $N$ ser la colección de todos los multisets cuyos elementos son en $P$. Aviso el teorema fundamental de la aritmética da un bijection $N\leftrightarrow \mathbb{N}$ donde $1$ corresponde a la vacía conjunto múltiple.

En virtud de este bijection, la noción de divisibilidad de números naturales corresponde a la noción de contención de conjuntos y los números primos corresponden a los únicos en $N$. También, observe que $\varnothing$ está contenida en todos los elementos de a $N$, como $1$ divide a todos los números naturales.