Separación de conjuntos disjuntos de tamaño $\aleph_1$ con Borel establece

Question

Pregunta: ¿Es consistente con ZFC que cada par de conjuntos disjuntos $A,B\subseteq\mathbb{R}$, tanto de tamaño $\aleph_1$, pueden ser separados por un conjunto de Borel?

Esta afirmación es claramente falso, según el cap; tomar cualquier no-conjunto de Borel $A\subseteq\mathbb{R}$. A continuación,$|A| = |\mathbb{R}\setminus A| = \aleph_1$, pero $A$ no puede ser separado de su complemento por cualquier conjunto de Borel. Mi conjetura es que siempre es falsa, es decir, la respuesta a la pregunta anterior es no. Un Hausdorff brecha parece ser una buena manera de conseguir un contraejemplo, utilizando Todorcevic del teorema en la analítica de las lagunas (ver aquí), pero me parece que no puede obtener el derecho de la declaración de salir. Tal vez hay una manera más fácil contraejemplo?

Answer 1

Sí, por ejemplo, si cada conjunto de reales de tamaño $\omega_1$ es un Q-set (esto significa que cada subconjunto es relativamente $G_{\delta}$), entonces usted puede separarlas $G_{\delta}$.