se podría decir que $\frac{1}{\infty} = 0$ Así que $1-\frac{1}{\infty} = 1$ . Pero entonces, estás estirando la definición de la división más allá del punto de ruptura - la división como sabes no está definida para el infinito, por lo que la respuesta es indefinida. De lo contrario, puedes meterte rápidamente en un lío y acabar diciendo que 1=2.
Los operadores aritméticos -sumar, restar, dividir, multiplicar, elevar a la potencia de- se definen en un conjunto particular de números: como los números reales, o los números complejos.
El conjunto que utilice para la definición determinará lo que puede y no puede decir con sentido. Normalmente (pero no siempre), el infinito está excluido de ese conjunto.
Si tomamos el conjunto de los números reales, y miramos "elevar a la potencia de", entonces $1^x$ es igual a 1 para cualquier x, ya que x -> infinito. Así que en ese caso, usted podría tener una convención de decir que $1^\infty = 1$ . Pero $\frac{1}{1} = 1$ Así que $1^{-\infty}$ también sería igual a 1. Sin embargo, cuando se definen estas nuevas convenciones, hay que tener mucho cuidado: a veces, una convención parece obvia, pero si se sigue, parece que se demuestra que 1=2, lo que significa que la convención no era tan útil.
Comparemos con la elevación a la potencia 0,5, es decir, sacando la raíz cuadrada. $-1^{0.5}$ es indefinido cuando trabajamos con los reales, por lo que, al igual que la división por el infinito, no se puede incluir en la aritmética. Sólo cuando se amplía a los números complejos, y se extiende la definición de los operadores aritméticos, se puede decir algo significativo sobre $-1^{0.5}$
Del mismo modo, los reales y los números complejos excluyen el infinito, por lo que la aritmética no está definida para él.
Se pueden ampliar esos conjuntos para incluir el infinito, pero entonces hay que ampliar la definición de los operadores aritméticos, para hacer frente a ese conjunto ampliado. Y entonces, tienes que empezar a pensar en la aritmética de manera diferente. Si quieres aprender más sobre esto, hay muchos sitios amigables en la web para entrar en el trabajo de Cantor sobre los diferentes tipos de infinito. (de los cuales hay un número infinito de infinitos diferentes)
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Dependiendo de sus preferencias, esto no está definido o simplemente es $0$ .
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En la mayoría de los casos, es ilegal manipular $\infty$ en matemáticas. La policía de las matemáticas llamará a tu puerta mañana... En serio, la cuestión es que $.999\dots$ es simplemente otra forma de escribir $1$ . Por otro lado, $\frac{1}{\infty}$ no es un número real en el sentido de que no se puede sumar, restar, multiplicar o dividir por el infinito y obtener otro número real, ya que el infinito en sí no es un número real. Para ver por qué esto es así en su caso, observa que si escribimos $\frac{1}{\infty}=0$ podríamos multiplicar por infinito en ambos lados y obtener $1=\infty\cdot 0$ . La moraleja es:
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@Amitesh: ¿Por qué alguien querría definir $\frac{1}{\infty} = 1$ ?
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Aritmética con $\infty$ suele ser una convención más que una pieza matemática. (Por ejemplo, algunos matemáticos (en teoría de la medida) toman $\infty\cdot 0 = 0$ y la razón de que esto sea así ya que $\infty\cdot 0$ representa el "área" de una línea infinita en el plano con $0$ de ancho y por lo tanto debe ser $0$ ya que área = altura $\times$ ancho). Sin embargo, este convención no proporciona realmente ninguna intuición y, de hecho, puede ser contraria a la intuición si se abusa de ella.
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@Amitesh: Sí, pero $\frac{1}{\infty}=0$ es mucho menos arbitrario que $\infty\cdot 0=0$ .
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@Stefan ¿Por qué dices eso? Se puede argumentar que $\frac{1}{\infty}$ debería ser el límite (como $n\to\infty$ ) de $\frac{1}{n}$ y por lo tanto $\frac{1}{\infty}=0$ . Sin embargo, también se puede argumentar $\infty\cdot 0$ debería ser el límite (como $n\to\infty$ ) de $n\cdot 0$ y por lo tanto $\infty\cdot 0=0$ . Por supuesto, estos "argumentos" son poco más que una diversión inofensiva; no hay ninguna razón por la que un argumento sea "menos arbitrario" que otro. De hecho, como he dicho, la convención $\infty\cdot 0=0$ es extremadamente útil en la teoría de la medida, ya que valida muchos teoremas que de otro modo serían falsos.
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@Amitesh: Para mostrar la diferencia: $\lim_{x\rightarrow 1,y\rightarrow\infty}\frac{x}{y}=0$ pero $\lim_{x\rightarrow \infty,y\rightarrow 0}xy$ no existe. Este argumento también se aplica a mi comentario anterior sobre $1^{-\infty}$ . En otras palabras, un estudiante de cálculo que acepta $\infty\cdot 0=0$ como una verdad matemática debe tener mucho cuidado de no sacar conclusiones injustificadas. No es tan malo con $\frac{1}{\infty}=0$ .
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He borrado mi comentario anterior sobre $1^{-\infty}$ . Sin embargo, no hay razón para que $1^{-\infty}$ debe ser $0$ .
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@Qiaochu : ¿sólo 0 o también 0? :)
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@Amitesh: Ver también es.wikipedia.org/wiki/Forma_indeterminada .
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@Stefan Parece que no hay problema en definir $\frac{1}{\infty} = 0$ . A menos que alguna mente tonta parta de esta ecuación y deduzca que $1 = 0 \cdot \infty$ moviendo el infinito a la derecha. :-) (Es una broma, estoy de tu lado en esto).
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@Gunnarj Re "Porque 1 / estaría infinitamente cerca de 0, quizás como 1^-" . ¿Estás confundiendo $1/\infty$ (tal vez se podría escribir esto como $\infty^{-1}$ ) y $1^{-\infty}$ ? No veo cómo $1^{-\infty}$ es relevante para su pregunta.
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Si le interesa, aquí tiene un conjunto que hace define la esfera de Riemann, también conocida como plano complejo extendido: es.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere
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Usted escribe " $1 - 1^{-\infty}$ o $\frac1\infty$ "Son dos cosas completamente diferentes. $\frac1\infty = 0$ sin ninguna duda (considere por ejemplo es.wikipedia.org/wiki/ ) Pero $1^{-\infty}$ parece menos evidente: puede haber cierta ambigüedad, como en 0^0. (Para mí, ambos están claramente definidos como 1, pero no todo el mundo está de acuerdo.) En ambos casos el límite de x^y depende de cómo (x,y) -> (0,0) resp. $(1,\pm\infty)$ .