Evaluar $\lim_{n \to \infty} \int_{1}^{2}\frac{\sin(nx)}{x}dx$

Question

Tengo que calcular $$\lim_{n \to \infty} \int_{1}^{2}\frac{\sin(nx)}{x}dx$$ He intentado abordarlo de diferentes maneras pero no consigo nada. En concreto, he utilizado la sustitución para obtener $$\lim_{n \to \infty} \int_{1}^{2}\frac{\sin(nx)}{x}dx = \lim_{n \to \infty} \int_{n}^{2n}\frac{\sin(u)}{u}du$$

Pero a partir de aquí no estoy seguro de qué hacer. He encontrado información sobre $\int_0^\infty\frac{\sin(nx)}{x}dx$ Pero no veo si y como podría relacionar mi integral con esa.

¿Alguna pista? Gracias

Answer 1

Integrar por partes, dejando $u=\frac{1}{x}$ y $dv=\sin(nx)\,dx$ . Entonces $du=-\frac{1}{x^2}\,dx$ y podemos tomar $v=-\frac{\cos nx}{n}$ .

Nuestra integral es igual a $$\left. -\frac{1}{x}\cdot \frac{\cos(nx)}{n}\right|_1^2 -\int_1^2 \frac{\cos nx}{nx^2}\,dx.$$ Ambas partes $\to 0$ como $n\to\infty$ .

Answer 2

Edición: Aunque se prefiere el cálculo detallado, se puede utilizar lo siguiente: La función $f(x)= ~\frac{1}{x}$ es absolutamente integrable de Riemann en $[1,2]$ y, por tanto, el lema de Riemann-Lebesgue implica el resultado deseado.

Answer 3

Haciendo un poco de trampa, ya que esto invoca otro resultado como caja negra, en el lugar marcado $(\dagger)$ .

Hacer la sustitución $u=nx$ como usted comenzó: $$ \int_1^2 dx\frac{\sin nx}{x} = \int_{n}^{2n} du\frac{\sin u}{u} = \int_{0}^{2n} du\frac{\sin u}{u} - \int_{0}^{n} du\frac{\sin u}{u} $$ y ahora utiliza el hecho $^{(\dagger)}$ que la integral (impropia) $\int_{0}^{\infty} du\frac{\sin u}{u}$ converge es decir, la función $$ f(x) \stackrel{\rm def}{=} \int_{0}^{x} du\frac{\sin u}{u} $$ converge a un límite finito $\ell$ cuando $x\to \infty$ . Así que por teoremas de operaciones sobre límites, $$ f(2n) - f(n) \xrightarrow[n\to\infty]{} \ell - \ell = 0. $$