El grupo sólo finito que puede actuar libremente en esferas aún dimensionales es $C_2$.

Question

No sé cómo mostrar esto.

¿Asumo que actúa $G$ $S^{2n}$ por homeomorphisms? Luego, desde $S^{2n}$ es Hausdorff sabe $G$ actúa libremente y correctamente discontinuo y desde $\pi_1(S^{2n})={1}$ tiene $\pi_1(X/G)\cong G$. Pero no estoy seguro si esto es útil.

Answer 1

¿Sabe usted la definición de grado? Se puede argumentar de la siguiente manera. Supongamos que un grupo G de la ley sobre 2n-esfera. Luego hay un homomorphism de la G a {1,-1} que envía un elemento de g para el grado de g-acción. Pero si g no es la identidad, entonces g(x) no es x, por lo que el g-acción es homotópica a la antipodal mapa. Y en la esfera de incluso dimensión, el antipodal mapa es de grado -1(porque invertir la orientación). Vamos a ver lo que tenemos:(1) un homomorphism p:G->$C_2$; (2)p(g)=-1 si g no es identidad. Así que ahora usted puede concluir que G tiene en realidad sólo dos elementos.(Así que no entiendo por qué suponer que G es un grupo finito.)

Answer 2

(Por supuesto el Grupo trivial actúa libremente en todos los ámbitos! Supongamos que $G$ es finito y no trivial.)

Ya $G$ es finito, la acción es sin duda correctamente discontinua, puesto que la acción se da para ser libre, se deduce que el cociente $q: X \rightarrow X/G$ es un mapa de cobertura finita. Recordando que en cualquier $n$-hoja que cubre el mapa $q: X \rightarrow Y$ tenemos $\chi(X) = n \chi(Y)$ y que la característica de Euler debe ser un número entero, ya casi terminamos.