Cuando un sistema cuántico tiene un doble degeneración en un momento dado, el hamiltoniano debe ser proporcional a las matrices de Pauli cerca de este punto (también conocido como punto diabólico) [ref.]. Pero, ¿por qué el hamiltoniano tiene esta forma?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Estimado Leandro, debido a que las matrices de Pauli, junto con el $2\times 2$ matriz identidad, forma una completa base real de todos los Hermitian $2\times 2$ matrices (tenga en cuenta que $2\times 2$ Hermitian matrices dependen de cuatro reales de los parámetros) y la matriz identidad es irrelevante en un Hamiltoniano, porque es sólo un convencionales cambio de energía que actúa sobre todos los vectores de igual manera y no crea ningún sutilezas tales como el cruce de línea de manera que uno puede omitir en cualquier discusión de interesantes efectos físicos.
Así que cualquier $2\times 2$ Hermitian de la matriz que la "materia" - y sí, Hamiltonianos tiene que ser Hermitian operadores - es una verdadera combinación lineal de las tres matrices de Pauli. Ellos no tienen que ser interpretado como una vuelta de cualquier tipo. Pero son todavía más natural que cualquier otra base de la Hermitean matrices debido a que el producto de cualquier par de matrices genera un múltiplo de otra matriz en la base, lo que simplifica todos los cálculos. (La analogía con la convencional $SO(3)$ generadores es una más, de manera transparente, para ver el poder de esta base.)
Pero incluso si usted opta por una menos inteligente base de las matrices de Pauli, se podrían obtener los mismos resultados. Las ecuaciones sólo podría llegar a ser un poco más complicado.
Cruce de línea etc. se observó por primera vez en la degeneración 2. Sin embargo, también es posible el estudio de $3\times 3$ o $N\times N$ matrices. Convencionales de bases de la Hermitian matrices se llama la Gell-Mann matrices en el caso de $SU(3)$ - debido a que Gell-Mann generalizado de las matrices de Pauli cuando estudió la fuerza fuerte donde $SU(3)$ entra en dos maneras. El $N\times N$ Hermitian matrices dependen $N^2$ real de los parámetros. Uno por lo general toma la matriz de identidad para ser uno de los vectores de la base, el resto de las $N^2-1$ vectores son "generadores de $SU(N)$".
