Realmente no sé mucho sobre mecánica cuántica, pero me gustaría saber un simple hecho.
La función de estado $\Psi(r, t)$ cuya magnitud da la densidad de probabilidad de la posición de la partícula y la magnitud de su ( $\Psi(r, t)$ ) la transformada de Fourier da la densidad de probabilidad de su momento. ¿Existe alguna regla que indique que estas funciones de estado son suaves (poseen derivadas de orden infinito en todas partes) (existen derivadas de todos los órdenes)?
El único requisito general para la función de estado de una partícula cuántica sin espín (quanton) en un estado físicamente realista es que la función de estado sea integrable al cuadrado, es decir, que la integral de su valor absoluto al cuadrado en todo el espacio sea finita. Las funciones de estado no integrables al cuadrado se utilizan para muchos fines, pero todas ellas son idealizaciones que, individualmente, no representan estados realistas. Si la función de estado también pertenece al dominio de definición del Hamiltoniano, entonces, en QM no relativista, la función de estado también debe ser diferenciable espacialmente en segundo orden. Las funciones de estado que son integrables al cuadrado pero no diferenciables en segundo orden no satisfacen la ecuación de Schroedinger. Pero su evolución temporal sigue estando determinada por consideraciones de continuidad, ya que las funciones de estado diferenciables en segundo orden son densas en todas partes en el espacio de estados, es decir, en el espacio de Hilbert.
Algunas condiciones para funciones de onda $\Psi(x)$ para todos los elementos $x$ de un subconjunto de $\mathbb{R^{d}}$ (en el enlace de hiperfísica utilizan $x \in \mathbb{R}$ ).
1.- Debe ser una solución de la ecuación de Schrodinger.
2.- Debe ser normalizable.
3.- Debe ser una función continua de $x$ .
4.- La pendiente de la función en $x$ debe ser continua, es decir, $\displaystyle \frac{\partial \Psi(x)}{\partial x}$ debe ser continua.
La propiedad de ser cuadrado-integrable está incluida en la condición 2.
@Rajesh: Bueno, doy por hecho que cada afirmación se puede reformular de otra manera. Además, no puedo afirmar que esa lista sea exhaustiva. Sin embargo, abarco mucho.
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No estoy seguro de que tu afirmación sobre la transformada de Fourier sea del todo correcta. La transformación de Fourier de la función de onda en términos de posición dará efectivamente la función de onda del momento, pero si esto se puede hacer en la distribución de probabilidad ( $|\psi|^2$ ), no lo sé. Espero que alguien con más conocimientos matemáticos me lo aclare.
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@Noldorin: Lo decía por la función de onda en sí, no por la magnitud/distribución de probabilidad. Gracias por la aclaración en la pregunta.
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Vale, claro. Ahora tiene más sentido. :) (Y en tu pregunta, también estoy suponiendo que defines $S(r, t) = |\Psi(r, t)|^2|$ .)
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@Noldorin: Me refiero a que ambos son iguales... no sabía cómo escribir Psi por eso escribí S.
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¿Puedes cambiar el título por algo significativo como "¿Está garantizado que la función de onda se comporta bien en todas partes?"?
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