Encontrar la suma de la serie infinita: $ 1 + \frac{1+2}{2!} + \frac{1+2+2^2}{3!} +\frac{1+2+2^2+2^3}{4!}+...$

Question

Encontrar la suma de la serie infinita

$$ 1 + \frac{1+2}{2!} + \frac{1+2+2^2}{3!} +\frac{1+2+2^2+2^3}{4!}+... ....$$

Lo que he hecho que

$$ S = \underbrace{\frac{1}{1!}}_{\text{1st Term}} + \underbrace{\frac{1+2}{2!}}_{\text{2nd Term}} + \underbrace{\frac{1+2+2^2}{3!}}_{\text{3rd Term}} + \underbrace{\frac{1+2+2^2+2^3}{4!}}_{\text{4th Term}} +... ....$$

¿Puedo ver el denominador puede ser escrito como tal pero no sé cómo manipular el numerador?

$$ S = \sum^{\infty}_{n=1} \frac{\text{?}}{n!} $$

Answer 1

El numerador es simplemente la progresión geométrica, $$1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} = 2^n - 1$ $ por lo tanto, $$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n - 1}{n!} = \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{2^n}{n!} - \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n!} = (e^2 - 1) - (e - 1) = e^2 -e$ $