Encontrar el % de fórmula general $a_n$$a_n = \frac{1}{2a_{n-1}} + 2a_{n-2}$

Question

Cómo calcular el % de fórmula general $a_n$para la siguiente secuencia: $$a_n = \frac{1}{2a_{n-1}} + 2a_{n-2}$ $ donde $a_1=\frac{1}{2}, a_2=\frac{1}{4}$

Answer 1

$$\begin{align}&a_{n} = \frac{1}{2 a_{n-1}} + 2 a_{n-2}\\ \iff & 2 a_{n} a_{n-1} + 1 = 2 ( 2 a_{n-1} a_{n-2} + 1)\\ \implies & 2 a_{n} a_{n-1} + 1 = 2^{n-2} (2 a_2 a_1 + 1 ) = \frac{5}{16} 2^n\\ \implies & a_{n}/a_{n-2} = \frac{\frac{5}{16} 2^n - 1}{\frac{5}{32} 2^n - 1}\\ \implies & a_{n} = \begin{cases} a_2 \prod_{k=0}^{m-1} (\frac{\frac{5}{16} 2^n - 4^k}{\frac{5}{32} 2^n - 4^k}), & \text{for}\;n = 2m\\ a_1 \prod_{k=0}^{m} (\frac{\frac{5}{16} 2^n - 4^k}{\frac{5}{32} 2^n - 4^k}), & \text{for}\;n = 2m+1 \end{casos} \end{align}$$

Esto nos da una lista bastante feo $a_i = ( \frac{1}{2},\frac{1}{4},3,\frac{2}{3},\frac{27}{4},\frac{38}{27},\frac{1053}{76},\frac{3002}{1053},\frac{167427}{6004},\frac{957638}{167427}, \ldots )$ y no puedo ver ningún patrón obvio en él.