$x^p+y^p$ es una raíz primitiva módulo $p^2$

Question

Yo no puedo resolver el siguiente problema:

Que $p$ ser una privilegiada. Demostrar que existe una raíz primitiva módulo $p^2$ de la % de forma $x^p+y^p$.

Edición: Hubo un error, espero que ahora es correcto. Ahora el problema es muy débil pero estoy seguro de que es correcto. Mis disculpas si alguien perdieron su tiempo con este problema.

Answer 1

$\def\ZZ{\mathbb{Z}}$He pensado lo suficiente sobre este problema como que yo podría escribir una respuesta que resume lo que yo sé. Deje $p$ ser un extraño prime. Deje $U$ el grupo de unidades del modulo $p^2$. Como supongo que usted sabe, $U \cong \ZZ/p(p-1) \cong \ZZ/p \times (\ZZ/p)^{\times}$. Vamos a llamar a estos dos factores $S$$T$. Explícitamente, $S$ es el grupo de unidades de la forma $1+kp$ $T$ es el grupo de unidades de la forma $x^p$.

Por ejemplo, cuando se $p=5$, el grupo de $S$ $\{ 1, 6, 11, 16, 21 \}$ y el grupo de $T$$\{ 1, 32, 243, 1024 \} \equiv \{ 1, 7, 18, 24 \} \mod 25$. Usted puede tener diversión, la comprobación de que cada uno de estos es realmente un subgrupo de $(\ZZ/25)^{\times}$.

Un elemento de $U$ es una raíz primitiva si no es en $T$ y su proyección a $T$ es una raíz primitiva.

Deje $X \subseteq U$ el conjunto de unidades de la forma $x^p + y^p$. Observe que, si por $t=z^p \in T$,$t (x^p+y^p) = (zx)^p + (zy)^p$. Así que el conjunto $X$ es invariante bajo la traducción por $T$. Vemos que $(s,t)$ $X$ si y sólo si $(s,t')$$X$. Deje $Y \subset S$ el conjunto de $s\in S$ tal que $(s,t)$ $X$ para cualquiera, o, equivalentemente, cada, $t \in T$. Por lo $X = Y \times T \subset S \times T = U$.

Un elemento $(s,t)$ $X$ es una raíz primitiva si y sólo si $s$ no es la identidad de $S$ $t$ es una raíz primitiva. Por lo que el número de raíces primitivas usted está interesado en la es $| Y \setminus \{ 1 \}| \times \phi(p-1)$.

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Lo que queda es para calcular el tamaño de $Y$. No puedo encontrar mucho que decir, pero aquí es un poco.

Vamos a escribir los elementos de $S$$1+kp$. Dicho elemento se encuentra en $X$ si es de la forma$x^p+y^p$$x^p + y^p \equiv 1 \mod p$. El último de la congruencia es equivalente a $x+y \equiv 1 \mod p$. Así tenemos $$1+kp \equiv (1+z)^p - z^p \bmod p^2$$ $$k \equiv \frac{1}{p} \left( \binom{p}{1} z + \binom{p}{2} z^2 + \cdots + \binom{p}{p-1} z^{p-1} \right) \bmod p.$$ Por lo $Y$ es el conjunto de los valores distintos de $$f_p(z) := \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p-1} \binom{p}{j} x^j$$ modulo $p$. Uno puede calcular explícitamente $\frac{1}{p} \binom{p}{j} \equiv \frac{(-1)^{j-1}}{j} \bmod p$ pero no parece ser útil.

$Y$ contiene al menos un valor distinto de cero, ya que $f_p$ sólo tiene el grado $p-1$, por lo que no puede ser idéntica a cero. Que responde a su solicitud, para demostrar que existe alguna raíz primitiva de la forma $x^p+y^p$. El primer par de valores de $Y$ $$\begin{array}{r l} p & Y \\ 3 & \{ 0,2 \} \\ 5 & \{0, 1, 2\} \\ 7 & \{0, 4, 5\} \\ 11 & \{0, 1, 6, 7, 10\} \\ 13 & \{0, 5, 6, 7, 9, 10\} \\ \end{array}$$

Aquí está una parcela de $(p, |Y(p)|)$ para el primer $100$ impares, números primos:

La mejor línea de ajuste es $0.40 p + 0.72$. Si tuviera que adivinar, yo diría que $|Y(p)| \approx p/e$ grandes $p$. Esto es debido a que el tamaño esperado de la imagen de un mapa aleatorio $\ZZ/p \to \ZZ/p$$\approx p/e$. El ajuste numérico es tan-tan, $1/e \approx 0.37$$0.40$, pero me quedo con ella hasta que alguien me da una mejor heurística.