¿$83^{27} +1 $ Es un número primo?

Question

Estoy teniendo problemas con los ejercicios en que un número dado es primo o no. ¿Es el primer de $83^{27} + 1$?

Answer 1

$83$ es extraño, entonces, es cualquier energía de $83$. Por lo tanto es $83^{27}+1$ incluso, pero el solo incluso número primero es $2$ y este número no es $2$.

Más generalmente, si $a,k\in\mathbb N$ $k$ es impar, entonces $$a^k+1\equiv (-1)^k+1\equiv 0\pmod{a+1}$ $ % que $a+1\mid a^k+1$. En este caso esto cede $84=2^2\cdot 3\cdot 7$ como divisor.

Answer 2

Bueno, es un número par, así que...

Answer 3

$$ 83 ^ {27} + 1 = \Big(83^9\Big) ^ 3 + 1 = a ^ 3 + b ^ 3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) = \Big(83^9+1\Big)\Big((83^9)^2-83^9+1\Big). $$

Por lo tanto, no, no es primordial.

PS (agregado más adelante): Algunos señalan que obviamente es un número par, así que no es primordial. Pero qué hacer sobre funcionaría igual de bien si se tratara de $84$ en lugar de $83$.

Answer 4

Tenga en cuenta que $83\equiv -1\pmod{84}$. Así $83^{27}+1\equiv 0\pmod{84}$.

Se sigue que nuestro número es divisible por todos los divisores de $84$.

También es no-prime de otras maneras. Que $x=83^3$. Nuestro número es $x^9+1$, por lo tanto es divisible por $x+1$. Del mismo modo, podríamos dejar $y=83^9$ y concluir que nuestro número es divisible por $y+1$.

En serio no prime!

Answer 5

Obviamente no es primordial. $83$ es extraño, por lo tanto es impar, por lo tanto $83^{27}$ es incluso y no ceba $83^{27}+1$.