Caracterizar el tipo de secuencia que satisface $\prod (1-a_i) \leq c$

Question

Considere la posibilidad de un producto $\prod_{i=1}^{n} (1-a_i)$ donde $n\leq \infty$ $a_i\in [0,1)$ todos los $i$. Estoy esperando a ver si existen las condiciones en la secuencia de $\{a_i\}$, de modo que

$$\prod_{i=1}^{n} (1-a_i)\leq c.$$

El producto puede ser reducido a $\sum_{B\subseteq \{1,2,\dots,n\}} (-1)^{|B|} \prod_{b\in B} a_b$, pero a partir de ahí no queda claro de dónde ir. Simple limitación de la convergencia de los resultados no son lo suficientemente fuertes como para la dirección de la envolvente de $c$. Al$c=0$$n=\infty$, esto requerirá que $\sum_{i=1}^\infty a_i = \infty$ si no me equivoco.

Me doy cuenta de que esta pregunta es muy general, así que siéntase libre para imponer supuestos adicionales en $\{a_i\}$ si es necesario.

Answer 1

Podemos tomar logaritmos, entonces la desigualdad se convierte en

$$\sum_{i=1}^n \log (1-a_i) \leqslant \log c.\tag{1}$$

La expansión de los logaritmos en serie de Taylor,

$$\log (1-x) = -\sum_{k=1}^\infty \frac{x^k}{k}$$

y multiplicando con $-1$, se convierte en

$$\sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^\infty \frac{a_i^k}{k} \geqslant -\log c.\tag{2}$$

Puesto que todos los términos a la izquierda son no negativos, podemos cambiar el orden de la suma y obtener

$$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}\sum_{i=1}^n a_i^k \geqslant -\log c.\tag{3}$$

En todo esto no se puede permitir $c = 0$ con el pequeño abuso de notación que $\log 0 = -\infty$$-\log 0 = +\infty$.

Entonces tenemos una cadena de condiciones suficientes

• $\sum\limits_{i=1}^n a_i \geqslant -\log c$,
• $\sum\limits_{i=1}^n a_i + \frac{1}{2}\sum\limits_{i=1}^n a_i^2 \geqslant -\log c$

y así sucesivamente.

Para $c = 0$ las condiciones de $n = \infty$ y

$$\sum_{i=1}^\infty a_i = +\infty$$

son necesarias y suficientes, para la si $\sum a_i$ eran finitos, entonces también se $\sum \log (1-a_i)$ sería finito, y el producto estrictamente positivo.

Para $c \geqslant 1$, la desigualdad es trivial satisfecho, y para $0 < c < 1$, $(1),(2),(3)$ son algo tautológica las condiciones necesarias y suficientes, pero el suficiente las condiciones de participación de sólo el un número finito de la potencia de las sumas pueden ser del tipo de las que usted está interesado en.

Answer 2

Deje $\{a_i\}_{i=1,\ldots,n-1}$ ser cualquier secuencia en la $[0,1)$. A continuación, puede definir el $n$th plazo a ser lo suficientemente grande como para que el pleno del producto es lo suficientemente pequeño como: $$a_n\geq1-c\prod\limits_{i=1}^{n-1}(1-a_i)^{-1}$$

Así que si no hay ninguna restricción en $n-1$ $n$ términos, entonces es esta la pregunta correcta? Tal vez si la secuencia de $\{a_i\}$ estaban obligados a ser decreciente? Pero entonces no habría restricciones en la última $n-1$ términos, y podría hacer que el primer término tan grande como sea necesario. Poner una restricción en un solo término de una secuencia, sino dejar que el resto de la secuencia de hacer lo que quiera no se siente como la caracterización de la secuencia de una manera significativa.

Si $n=\infty$, estas consideraciones no se aplican.