Sea $U,V$ subespacios del espacio vectorial $W$. Demostrar eso si $U\nsubseteq V$ y $V\nsubseteq U$ $U \cup V$ no es un subespacio.

Question

Deje $U,V$ ser subespacios del espacio vectorial $W$. Mostrar que si $U\nsubseteq V$ $V\nsubseteq U$ $U \cup V$ no es un subespacio.

Sé que para ser considerado un subespacio, la matriz de la suma y la multiplicación escalar las operaciones deben tener. Sin embargo, podemos definir:

$U = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ $V = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Ellos no son un subconjunto de la otra, pero su unión es un subespacio. La adición de una matriz que abarca $U\cup V$ o de la realización de la multiplicación escalar parece válida en mi construido $U \cup V$. Claramente me estoy perdiendo algo importante.

¿Alguien puede arrojar algo de luz sobre esto?

Answer 1

¿Considere lo siguiente: puede ser la suma de dos vectores, uno de cada subespacio, tanto distinto de cero, en cualquiera de los dos subespacios?

En tu caso particular lo que hiciste fue tomar la suma formal de dos subespacios, no la Unión. La Unión no es sumas de vectores de cada juego, es sólo el conjunto de vectores que son ya sea en uno u otro.

Answer 2

En el ejemplo, la matriz identidad tendría que pertenecen a la unión de sus dos subespacios, ya que es la suma de ambas matrices.

En general, para $U \cup V$ que se considera un subespacio que ha de contener todas las combinaciones lineales de los elementos en $U$$V$. Si son distintos, tomar un elemento $u+v$ que es la suma de los vectores de cada subespacio. Desde $U \cup V$ es un subespacio, $u+v$ pertenecen a $U$ o $V$. Dicen que pertenece a $U$. A continuación, $(u+v)-u=v$ también deben pertenecer a $U$ ya que es un subespacio, lo que contradice el hecho de que son distintos.

Answer 3

Que $u\in U-V$ y $v\in V-U$.

Si $U\cup V$ es una vectorspace $u+v\in U\cup V$.

Sin embargo, $u+v\in U$ combinado con $u\in U$ implica que el $v\in U$ y $u+v\in V$ combinaron con $v\in V$ implica que el $u\in V$

Answer 4

Una matriz no es un subespacio; Si por eso notación te refieres al espacio columna de la matriz, luego $U=\operatorname{Span}(e_1)$ y $V=\operatorname{Span}(e_2)$, donde $$e_1 =\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}, \qquad e_2 =\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix};$$ no contiene la Unión de los subespacios $e_1+e_2$. Así tu contraejemplo no es válido.

El enunciado en el título es de hecho correcto.

Como una sugerencia, tomar $v_0\in V$, $v_0\notin U$, que existe por hipótesis. Entonces, $u\in U$, la suma de $u+v_0\in U\cup V$ (si se trata de un subespacio), lo $u+v_0\in U$ o $u+v_0\in V$. Por lo tanto...