La construcción de un superior de la forma tridimensional de la rotación es un proceso fácil. Comenzando con un círculo , $S^1$ , hay dos maneras diferentes para rotar en 3D. Estas rotaciones suceden alrededor de un n-1 plano, en n+1. Los ejes que se encuentran en la n-1 plano de permanecer inmóvil, dejando un eje sobre el que se transforma matemáticamente. Se puede establecer el plano de rotación para escoger el único eje "$x_m$", de cualquier forma.
Dividiendo Girar en $x_n$, transformando $x_m$:
$x_m^2 \rightarrow x_m^2 + x_n^2$
Ejemplos:
• círculo, $S^1$ :
$x^2 + y^2 = r^2$
Dividiendo girar alrededor del eje x en z va a transformar y, haciendo la 2-esfera:
$y^2 \rightarrow y^2 + z^2$,
$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$
Continúan dividiendo en dos girar sólo agregar dimensiones a la $S^n$, conduce a un mayor n-esferas.
• esfera, $S^2$ :
$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$,
Dividiendo girar alrededor del plano xy en w, va a transformar z, haciendo que la 3-esfera:
$z^2 \rightarrow z^2 + w^2$,
$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = r^2$
Dividiendo girar alrededor de avión xyz en v, va a transformar w, lo $S^4$:
$w^2 \rightarrow w^2 + v^2$,
$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + v^2 = r^2$
Dividiendo girar alrededor de avión xyzw en u, va a transformar en v, lo $S^5$:
$v^2 \rightarrow v^2 + u^2$,
$x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + v^2 + u^2 = r^2$
Como podemos ver en este, dividiendo en dos la rotación de $S^n$ alrededor de cualquier hyperplane, m-número de veces, producirá $S^{n+m}$ .
No Intersección Gire a $x_n$, transformando $x_m$:
$x_m \rightarrow (\sqrt{x_m^2 + x_n^2}-a)$
• Realizado por el cambio de la forma inicial por un valor determinado de una , luego barrer alrededor de la n-1 plano, en n+1, para hacer un anillo toroidal.
círculo : $x^2 + y^2 = r^2$
cambio el círculo por una a lo largo de y, a continuación, barrer alrededor de x en z:
$y \rightarrow (\sqrt{y^2 + z^2} -a)$,
$x^2 + (\sqrt{y^2 + z^2} -a)^2 = r^2$
y de reorientación de la forma,
$(\sqrt{x^2 + y^2} -a)^2 + z^2 = r^2$,
obtenemos la ecuación de un toro, $T^2$. Para $S^1$, estamos no se limita sólo a la transformación y , como x puede ser utilizado igualmente por lo tanto.
Edificio 4D Formas
• Iniciar con cualquiera de las $S^2$ o $T^2$, podemos divide en dos partes iguales o no de intersección gire a construir 4D formas. Hay dos formas de rotar $S^2$ , y cuatro formas de rotar $T^2$. La bisección girar para $S^2$ a $S^3$ ya fue detallado anteriormente, así que voy a mostrar la no intersección de rotación:
• $S^2$ :
$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$,
cambio de la esfera por una a lo largo de x, de barrido a lo largo de la trayectoria circular alrededor de plano yz, en w:
$x \rightarrow (\sqrt{x^2 + w^2} -a)$,
$(\sqrt{x^2 + w^2} -a)^2 + y^2 + z^2 = r^2$
Y, a la reorganización de
$(\sqrt{x^2 + y^2} -a)^2 + z^2 + w^2 = r^2$,
tenemos un compacto de 3 colector de género-1, definido como: $S^2$ x $S^1$ , esfera paquete sobre el círculo.
Las cuatro formas para girar un toro en 4D:
• Toro, $T^2$:
$(\sqrt{x^2 + y^2} -a)^2 + z^2 = r^2$
Grado-4 Superficies
1. Dividiendo girar alrededor de plano xz (o yz), en w, va a transformar y:
$y^2 \rightarrow y^2 + w^2$,
$(\sqrt{x^2 + y^2 + w^2} -a)^2 + z^2 = r^2$
reorientar a
$(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} -a)^2 + w^2 = r^2$
Una 3-variedad de género-1, $S^1$ x $S^2$ , círculo paquete sobre la esfera.
2. Dividiendo girar alrededor del plano xy, en w, va a transformar z:
$z^2 \rightarrow z^2 + w^2$,
$(\sqrt{x^2 + y^2} -a)^2 + z^2 + w^2 = r^2$
Una 3-variedad de género-1, $S^2$ x $S^1$ , esfera paquete sobre el círculo.
Grado-8 Superficies
3. No intersección gire alrededor de plano xz (o yz), en w, transforma y. Desplazado por una a lo largo del eje y:
• Toro, $T^2$:
$(\sqrt{x^2 + y^2} -b)^2 + z^2 = r^2$,
$y \rightarrow (\sqrt{y^2 + w^2} -a)$,
$(\sqrt{x^2 + (\sqrt{y^2 + w^2} -a)^2} -b)^2 + z^2 = r^2$
reorientar a
$(\sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2} -a)^2 + z^2} -b)^2 + w^2 = r^2$
Una 3-variedad de género-2, la 3-torus $T^3$, toro paquete sobre el círculo.
4. No intersección de girar alrededor del plano xy, en w, se transforma z. Desplazado por una a lo largo del eje z:
$z \rightarrow (\sqrt{z^2 + w^2} -a)$,
$(\sqrt{x^2 + y^2} -b)^2 + (\sqrt{z^2 + w^2} -a)^2 = r^2$,
Una 3-variedad de género-2, el tigre, el círculo paquete de más de Clifford plana toro. Para la simplicidad y la claridad, yo estoy adoptando la notación de C2 para representar el toro de Clifford, en el haz de fibras términos. No debe confundirse con el espacio $C^2$. (Espero que bien con todo el mundo). Así, en el caso de esta 4D hypertorus, se las puede definir como $S^1$ x C2 , que es homeomórficos a $T^3$, como el producto de los tres círculos, pero única y diferente.
Así que, para recapitular 4D:
$S^3$ : $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 = r^2$
$S^1$ x $S^2$ : $(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} -a)^2 + w^2 = r^2$
$S^2$ x $S^1$ : $(\sqrt{x^2 + y^2} -a)^2 + z^2 + w^2 = r^2$
$T^3$ : $(\sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2} -a)^2 + z^2} -b)^2 + w^2 = r^2$
$S^1$ x C2 : $(\sqrt{x^2 + y^2} -b)^2 + (\sqrt{z^2 + w^2} -a)^2 = r^2$
Edificio 5D Formas
Ahora, podemos continuar este proceso de rotación de 4D formas en 5D, la producción de la $S^4$ , y 11 tipos distintos de hypertoric anillos.
El compacto de 4 colectores que se curva hacia la 5D:
Grado-2 de Superficie de género-0
$S^4$ : $x^2 + y^2 + z^2 + w^2 + v^2 = r^2$
Grado-4 Superficies de género-1
$S^3$ x $S^1$ : $(\sqrt{x^2 + y^2} - a)^2 + z^2 + w^2 + v^2 = b^2$
$S^2$ x $S^2$ : $(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} - a)^2 + w^2 + v^2 = b^2$
$S^1$ x $S^3$ : $(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2 + w^2} - a)^2 + v^2 = b^2$
Grado-8 Superficies de género-2
$S^2$ x $T^2$ : $(\sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2} - a)^2 + z^2} - b)^2 + w^2 + v^2 = c^2$
$S^1$ x $S^2$ x $S^1$ : $(\sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2} - a)^2 + z^2 + w^2} - b)^2 + v^2 = c^2$
$T^2$ x $S^2$ : $(\sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} - a)^2 + w^2} - b)^2 + v^2 = c^2$
$S^2$ x C2 : $(\sqrt{x^2 + y^2} - a)^2 + (\sqrt{z^2 + w^2} - b)^2 + v^2 = c^2$
$S^1$ x [$S^2*S^1$] : $(\sqrt{x^2 + y^2 + z^2} - a)^2 + (\sqrt{w^2 + v^2} - b)^2 = c^2$
Grado-16 Superficies de género-3
$S^1$ x C2 x $S^1$ : $(\sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2} - a)^2 + z^2} - b)^2 + (\sqrt{w^2 + v^2} - c)^2 = d^2$
$T^2$ x C2 : $(\sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2} - a)^2 + (\sqrt{z^2 + w^2} - b)^2} - c)^2 + v^2 = d^2$
$T^4$ : $(\sqrt{(\sqrt{(\sqrt{x^2 + y^2} - a)^2 + z^2} - b)^2 + w^2} - c)^2 + v^2 = d^2$
Y, de conseguir en 6D, obtendremos $S^5$ , y 32 distintos toroidal formas. Los interesantes son un grado 32 de la superficie, como el compacto de 5-colectores de género-4. Avanzando, 7D se ha $S^6$ y 89 tipos de hypertorus, algunos de los cuales son de grado-64 de género-5. Lo genial acerca de la combinatoric de anidación de diámetros, es la que sigue árboles de raíces con anidada hojas, el entero de la secuencia de A000669. Todas las combinaciones de la bisección y no de intersección de las rotaciones de un círculo de escape de la totalidad de combinaciones posibles en cada dimensión. Parte de mi auto-estudio y la investigación personal ha sido esta combinación de la secuencia, que define implícitamente la superficie de las ecuaciones de hypertoric formas. Me pueden elaborar sobre esto más, si alguien está interesado.
He hecho un poco de ilustración de estas formas, y también:
4D Hypertoric Formas
5D Hypertoric Formas
y muchos de la 6D y 7D, y 9D así.
