Relación de control de serie geométrica a través de su suma

Question

Un $S_n$ de la serie geométrica es la suma de los $n$ primeros elementos de una secuencia geométrica $u_n$:

$$u_n = ar^n \space \forall n \in \mathbb{N}^*$$

$u_0$ definido, y:

$$S_n = \sum_{k = 0}^{k = n - 1}u_k=a\frac{1 - r^n}{1 - r}$$

¿Entonces, hay una manera para determinar el cociente $r$ analíticamente a través de un determinado % finito $n$y % de la suma finita $S_n$?

Answer 1

Eso depende de $n$. Ya que $S_n$ es un polinomio de grado $n-1$, el teorema de Abel-Ruffini el $$S_n=a(1+r+r^2+\ldots+r^{n-1})$ $ cuando $n>5$, no hay ninguna solución general puede expresarse mediante radicales.

Answer 2

La respuesta de mi pregunta, reorganizar la fórmula para la suma de una serie geométrica para encontrar el valor de su cociente común?, apenas en relacionados:

$$a = S_{n+1} - rS_n$$