Si $u$ es separable sobre $K$ $v$ es puramente inseparble $K$, entonces el $K(u,v)=K(u+v)$.

Question

He estado teniendo problemas con este ejercicio de Hungerford el libro de Álgebra. He estado estudiando la sección de divisibilidad por mí mismo, y ya tengo una solución del ejercicio, pero es muy largo y engorroso. Estoy aquí en busca de una mejor solución:

Deje $F$ ser un campo de extensión de la $K$, e $u\in F$ un elemento separable sobre K, $v\in F$ puramente inseparable elemento más de $K$. Mostrar que $K(u,v)=K(u+v)$.

Mi prueba consiste en demostrar que a $K(u+v)\subseteq K(u,v)$ y, a continuación, mostrar que $K(u,v)$ es tanto, separable y puramente inseparable sobre $K(u+v)$, llegando a la conclusión deseada, pero mi método no es muy elegante.

Me agradaría ver otra de las soluciones, gracias.

Answer 1

Podemos suponer char $(K)=p>0$. Tenemos $v^{p^m}=a\in K$ $m\geq0$, $u^{p^m}=\bigl[(u+v)-v\bigr]^{p^m}=(u+v)^{p^m}-a\in K(u+v)\,.$ por lo tanto el elemento $u$ es puramente inseparable sobre $K(u+v)$; pero desde $u$ es separable sobre $K$, entonces $u$ también es separable sobre $K(u+v)$. Por lo tanto $u\in K(u+v)$, que implica a su vez $v=(u+v)-u\in K(u+v)$, como se desee.