Dejemos que $n$ sea un número natural. ¿Cómo se demuestra que
$$ \lfloor n/1 \rfloor+ \lfloor n/2\rfloor+ \lfloor n/3\rfloor+\dots +\lfloor n/n]+\lfloor \sqrt{n}\rfloor$$
¿es uniforme? Gracias.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Aquí tienes un esbozo de argumento, a ver si puedes generalizar y completar los detalles. Ilustramos la suma $$\Bigl[\frac{n}{1}\Bigr]+\Bigl[\frac{n}{2}\Bigr]+\cdots+\Bigl[\frac{n}{n}\Bigr]$$ por un patrón de puntos, donde el número de puntos en la columna $j$ es igual a $[n/j]$ . Si decimos $n=6$ se verá así, $$\matrix{\bullet\cr \bullet\cr \bullet\cr \bullet&\bullet\cr \bullet&\bullet&\bullet\cr \bullet&\bullet&\bullet&\bullet&\bullet&\bullet\cr}$$ y para futuras referencias etiquetamos las filas y columnas como se muestra: $$\matrix{6&\bullet\cr 5&\bullet\cr 4&\bullet\cr 3&\bullet&\bullet\cr 2&\bullet&\bullet&\bullet\cr 1&\bullet&\bullet&\bullet&\bullet&\bullet&\bullet\cr &1&2&3&4&5&6\cr}$$
Si dibujas algunos ejemplos más, parece claro que el patrón es simétrico respecto a la diagonal. Para demostrar que esto es cierto, observa que hay un punto en la fila $i$ , columna $j$ si y sólo si $$i\le\frac{n}{j}\ ,$$ y esto es lo mismo que decir que hay un punto en la fila $j$ , columna $i$ . Ahora ignora los puntos de la diagonal, por ejemplo, $$\matrix{\bullet\cr \bullet\cr \bullet\cr \bullet&\bullet\cr \bullet&\circ&\bullet\cr \circ&\bullet&\bullet&\bullet&\bullet&\bullet\cr}$$ Por simetría, los puntos restantes son pares en número.
Ahora, ¿cuántos puntos hay en la diagonal? Hay un punto en $(i,i)$ si y sólo si $i\le n/i$ si y sólo si $i^2\le n$ si y sólo si $i\le[\sqrt n]$ . Así que el número de puntos en la diagonal es $[\sqrt n]$ . Si se junta todo esto se ve que el número del problema es par.
Hurkyl
Puntos
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Dejemos que $f(n)$ sea la suma. Es útil reescribirlo como
$$ f(n) = [\sqrt{n}] + \sum_{k=1}^{+\infty} [n/k] $$
¿Qué es? $f(n) - f(n-1)$ ? Las diferencias entre las dos fórmulas son:
- Cada uno de los términos $[n/k]$ es uno mayor que $[(n-1)/k]$ si y sólo si $k | n$ . (esto incluye $k=n$ )
- Si $n$ es un cuadrado perfecto, entonces $[\sqrt{n}]$ es uno mayor que $[\sqrt{n-1}]$ .
El efecto del primer punto añade $1$ para cada factor de $n$ . La mayoría de los números tienen un número par de factores (por ejemplo, si $x$ divide $n$ entonces también lo hace $n/x$ ). Las únicas excepciones son los cuadrados perfectos, que tienen un número impar de factores, pero esos son precisamente los momentos en los que el segundo punto añade $1$ .
Así, $f(n) - f(n-1)$ es siempre uniforme.
