Tomar los registros para deshacerse de los poderes ;)
$$a \ln(a) + b \ln (b) + c \ln (c) \geq \frac{a+b+c}{3} [ \ln (a)+ \ln(b) + \ln(c)] $$
Luego de un método relativamente simple, pero menos conocido de la desigualdad, la desigualdad de Chebyshev:
Si $ a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n$, $b_1 \geq b_2 \geq \cdots \geq b_n$, a continuación, $${1\over n} \sum_{k=1}^n a_k \cdot b_k \geq \left({1\over n}\sum_{k=1}^n a_k\right)\left({1\over n}\sum_{k=1}^n b_k\right)$$
resuelve el problema.
Si usted no está familiarizado con Chebyshev, trate de probar directamente que
$$a \ln(a) + b \ln (b) \geq a \ln(b) + b \ln(a) $$
Hacer lo mismo para $(a,c), (b,c)$ y agregarlos togeter....
P. S. La última observación nos lleva a la siguiente "elemental", pero más complicada solución.
Podemos demostrar primero que
$$a^ab^b \geq a^bb^a \,.$$
De hecho, puesto que la ecuación es simétrica, se puede asumir WLOG que $a \geq b$ y, a continuación,
$$a^{a-b} \geq b^{a-b} \,.$$
Que es exactamente el deseado desigualdad.
Entonces tenemos
$$a^ab^b \geq a^bb^a \,.$$
$$a^ac^c \geq a^cc^a \,.$$
$$b^bc^c \geq b^cc^b \,.$$
$$a^ab^bc^c \geq a^ab^bc^c \,.$$
Multiplicando togeter, se obtiene
$$a^{3a}b^{3b}c^{3c} \geq (abc)^{a+b+c} \,.$$
Lo que hice aquí fue a reprobar la desigualdad de Chebyshev en este caso en particular, sin necesidad de escribir los registros....
