¿Cómo calcular la expansión asintótica de $\sum \sqrt{k}$?

Question

Indicar $u_n:=\sum_{k=1}^n \sqrt{k}$. Podemos fácilmente ver que % $ $$ k^{1/2} = \frac{2}{3} (k^{3/2} - (k-1)^{3/2}) + O(k^{-1/2}),$por lo tanto, $\sum_1^n \sqrt{k} = \frac{2}{3}n^{3/2} + O(n^{1/2})$, porque $\sum_1^n O(k^{-1/2}) =O(n^{1/2})$.

Con algunos cálculos más, conseguimos % $ $$ k^{1/2} = \frac{2}{3} (k^{3/2} - (k-1)^{3/2}) + \frac{1}{2} (k^{1/2}-(k-1)^{-3/2}) + O(k^{-1/2}),$por lo tanto, $\sum_1^n \sqrt{k} = \frac{2}{3}n^{3/2} + \frac{1}{2} n^{1/2} + C + O(n^{1/2})$ % constante $C$, porque $\sum_n^\infty O(k^{-3/2}) = O(n^{-1/2})$.

Ahora vamos más lejos. He hecho el siguiente cálculo $$k^{1/2} = \frac{3}{2} \Delta_{3/2}(k) + \frac{1}{2} \Delta_{1/2}(k) + \frac{1}{24} \Delta_{-1/2}(k) + O(k^{-5/2}),$ $ donde $\Delta_\alpha(k) = k^\alpha-(k-1)^{\alpha}$. Por lo tanto: $$\sum_{k=1}^n \sqrt{k} = \frac{2}{3} n^{3/2} + \frac{1}{2} n^{1/2} + C + \frac{1}{24} n^{-1/2} + O(n^{-3/2}).$ $ y uno puede seguir ad vitam aeternam, pero el único término no sé cómo calcular es el término constante.

¿Cómo encontramos $C$?

Answer 1

Permítanos sustituir en la suma $$\sqrt k=\frac{1}{\sqrt \pi }\int_0^{\infty}\frac{k e^{-kx}dx}{\sqrt x}. $$ Intercambiando el orden de la suma y la integración y sumar los derivados de la serie geométrica, obtenemos \begin{align*} \mathcal S_N:= \sum_{k=1}^{N}\sqrt k&=\frac{1}{\sqrt \pi }\int_0^{\infty}\frac{\left(e^x-e^{-(N-1)x}\right)-N\left(e^{-(N-1)x}-e^{-Nx}\right)}{\left(e^x-1\right)^2}\frac{dx}{\sqrt x}=\\&=\frac{1}{2\sqrt\pi}\int_0^{\infty} \left(N-\frac{1-e^{-Nx}}{e^x-1}\right)\frac{dx}{x\sqrt x}=\\ &=\frac{1}{2\sqrt\pi}\int_0^{\infty} \left(N-\frac{1-e^{-Nx}}{e^x-1}\right)\frac{dx}{x\sqrt x}. \end{align*} Para extraer el asymptotics de la integral anterior es suficiente ligeramente elaborar el método utilizado para responder a esta pregunta. Es decir, \begin{align*} \mathcal S_N&=\frac{1}{2\sqrt\pi}\int_0^{\infty} \left(N-\frac{1-e^{-Nx}}{e^x-1}+\left(1-e^{-Nx}\right)\left(\frac1x-\frac12\right)-\left(1-e^{-Nx}\right)\left(\frac1x-\frac12\right)\right)\frac{dx}{x\sqrt x}=\\ &={\color{red}{\frac{1}{2\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\left(1-e^{-Nx}\right)\left(\frac1x-\frac12-\frac{1}{e^x-1}\right)\frac{dx}{x\sqrt x}}}+\\&+ {\color{blue}{\frac{1}{2\sqrt\pi}\int_0^{\infty} \left(N-\left(1-e^{-Nx}\right)\left(\frac1x-\frac12\right)\right)\frac{dx}{x\sqrt x}}}. \end{align*} La razón para descomponer $\mathcal S_N$ de esta manera es que

• la red integral de una fácilmente computable límite finito: desde $\frac1x-\frac12-\frac{1}{e^x-1}=O(x)$$x\to 0$, simplemente podemos descuidar la exponencial $e^{-Nx}$.

• el azul integral puede ser calculada exactamente.

Por lo tanto, como $N\to \infty$, tenemos $$\mathcal S_N={\color{blue}{\frac{\left(4n+3\right)\sqrt n}{6}}}+ {\color{red}{\frac{1}{2\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\left(\frac1x-\frac12-\frac{1}{e^x-1}\right)\frac{dx}{x\sqrt x}+o(1)}},$$ y la parte finita que se busca es la dada por $$C=\frac{1}{2\sqrt\pi}\int_0^{\infty}\left(\frac1x-\frac12-\frac{1}{e^x-1}\right)\frac{dx}{x\sqrt x}=\zeta\left(-\frac12\right).$$

Answer 2

Como se muestra en esta respuesta, podemos utilizar la fórmula de la suma de Euler-Maclaurin para conseguir $$ \sum_{k=1}^n\sqrt{k}=\frac23n^{3/2}+\frac12n^{1/2}+\zeta\left(-\frac12\right) + \frac1 {24} n ^ {-1/2}-{1920} n \frac1 ^ {-5/2} + \frac1 {9216} n ^ {-9/2} + O\left (n ^ {-13 / 2} \right) $$