Problema difícil de teoría del anillo

Question

Deje $(R,+,\cdot)$ ser un anillo con al menos 2 elementos. Si sabemos que $R$, no es un campo y $x^2=x$ cualquier $x \in R$ donde $x$ a no es invertible, probar que:

a) $a+x$ a no es invertible, $\forall a,x\in R$ donde $a$ es invertible y $x$ a no es invertible, $x \neq0$
b)$x^2=x, \forall x\in R$

Mi solución, que no es correcta:

---

a) Deje $U(R)$ el grupo de invertible elementos de $R$.

Obviamente, si $a \in R$ es invertible, entonces a $a^{-1}$ es invertible, también. También, para cualquier $t \in U(R)$ cualquier $s \in R-U(R)$, tenemos que $t \cdot s \in R-U(R)$. $(1)$

Suponemos $a+x \in U(R)$.

$a+x=a \cdot(1+a^{-1}x)$

Por lo tanto $1+a^{-1}x \in U(R)$, lo que significa que $a^{-1}x \in U(R)$, en contradicción con $(1)$. Así que nuestra suposición es falsa. De ello se desprende que $a+x \in R-U(R)$. (Esto está mal, tome $\mathbb{Z}_{6}$ por ejemplo)

b) Vamos a $y \in R-U(R), y\neq0$.

A partir de una), tenemos que $1+y$ no es invertible.

A continuación,$(1+y)^2=1+y\Leftrightarrow 2y=0$.

Deje $a$ ser un elemento invertible.

$(a+y)^2=a+y$
$ \Rightarrow a^2+ay+ya+y^2=a+y$
$ \Rightarrow a^2+ay+ya+=a$

Pensé que $R$ debe ser conmutativa, por lo tanto $ay+ya=ya+ya=2ya=2y\cdot a=0\cdot a=0$.

Por eso, $a^2=a$, y por lo tanto obtenemos que $a=1$ es el único elemento invertible.

Sabiendo que $x^2=x, \forall x \in R-U(R)$ y $1^2=1$, se obtuvo que $x^2=x, \forall x \in R$

Answer 1

EDIT: espero que esto es una respuesta real ahora:
Como Matemáticos Chibchas señalado, la mera noción de "invertible" significa que hay un $1$, $R$ es un unital anillo. Ahora nuestro anillo no es un campo, por lo que no es no invertible elemento $x$. Obviamente, $-x$ a no es invertible, por lo $-x=(-x)^2=x^2=x$. Por otra parte, si $x$ a no es invertible, tenemos $x(1-x)=0$, es decir, $1+x=1-x$ no es invertible. Esto significa $1+x=-(1+x)$, es decir,$1=-1$, nuestro anillo debe tener la característica $2$ (por lo $\mathbb{Z}_{6}$ no importa, aquí). Si $a$ es invertible, sino $x$ no lo está, que se haga a la conclusión de $a^{-1}x$ a no es invertible, por lo $1+a^{-1}x$ a no es invertible, como hemos visto. A continuación, $a+x$ a no es invertible , porque de lo contrario, tendríamos $(1+a^{-1}x)^{-1}=(a+x)^{-1}a$.
Estamos tan pronto como nos muestran que la $1$ es el único elemento invertible en a $R$. Así que vamos a asumir $a$ es invertible, y $x$ no lo es.
En primer lugar, $ax$ no puede ser invertible, por lo $ax\cdot ax=ax$, es decir, ($a$ es invertible!) $$xax=x\tag 1.$$ According to what was shown above, $a+x$ no es invertible, por lo que $(a+x)^2=a+x$, es decir,$a^2+ax+xa+x^2=a+x$, es decir, (recuerden $R$ tiene características de las $2$!) $$a+a^2+ax+xa=0\tag2.$$ We can rewrite that as $una(1+a+x)=xa$. Multiplying both sides by $x$ desde la derecha y usando (1), obtenemos $$a(x+ax+x^2)=a(x+ax+x)=a^2x=xax=x\tag3.$$ El uso de la simetría de (2), podemos decir como bien $(1+a+x)a=ax$, y la multiplicación por $x$ desde la izquierda da $$xa^2=x\tag4.$$ Now (3) and (4) together mean that $a^2$ and $x$ are commutative. Since $^2$ must be invertible, and $x$ is not, $^2+x$ is not invertible, $(a^2+x)^2=a^2+x$, así que debemos tener $$(a^2+x)^2=a^4+a^2x+xa^2+x^2=a^4+x+x+x=a^4+x=a^2+x.$$ This means $a^4=a^2$, i.e. $a^2(a^2-1)=0$, and that's equivalent (due to the invertibility of $a$) to $a^2-1=(a-1)^2=0$, meaning $$a=1\tag5.$$ (Remember: if $a$ is invertible and $a\neq1$, $a-1$ has to be invertible, because otherwise, $1+(a-1)$ no ser invertible, como se muestra arriba.) Para (5) muestra que $1$ es el único elemento invertible en a $R$, y por lo tanto hemos demostrado que $x^2=x$ todos los $x\in R$.
Yo estaba recordó que he eliminado por error algo de mi intento anterior (aún no de una respuesta): un anillo con que la propiedad tiene que ser conmutativa. Hemos visto característicos $2$ se muestra arriba. Y tan pronto como nos han mostrado $x^2=x$ por cada elemento de a $R$, podemos ver que $(x+y)^2=x+y$, y que (a causa de $x^2=x$$y^2=y$) implica $xy+yx=0$, es decir,$xy=-yx=yx$. Pero eso es sólo una conclusión a partir de la afirmación de que no podemos utilizar para demostrar la reclamación, que sería circular.