Es un hecho conocido que si $k$ es un campo que se finitely generado como un anillo, que es lo mismo que tener un surjective anillo homomorphism $f:\mathbb{Z}[x_1,\dots,x_n]\to k$ algunos $n\in \mathbb{N}$, $k$ debe ser finito. Desde la generación finita como un anillo implica la generación finita sobre el primer campo ($\mathbb Q$ o $\mathbb F_p$), por Noether normalización de ello se sigue que $k$ debe ser de un número finito de extensión de su primer campo. En característica positiva de este termina el trabajo y en cero característica, debe conducir rápidamente a una contradicción, aunque yo no ver de inmediato cómo. Hay una escuela primaria/slick prueba de este hecho?
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Bryan Roth
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Un enfoque es a través de la teoría de Hilbert-Jacobson anillos. Hay varias definiciones equivalentes, incluidos los que cada primer ideal sería la intersección de la máxima ideales que la contiene. A partir de esto es fácil ver que un PID, por ejemplo, es una de Hilbert-Jacobson anillo fib tiene infinitamente muchas máxima ideales, y que, en particular, $\mathbb{Z}$ es una de Hilbert-Jacobson anillo.
Ahora aquí es un importante y útil de resultados acerca de Hilbert-Jacobson anillos:
Teorema: Vamos a $R$ ser una de Hilbert-Jacobson anillo, y $S$ un finitely generadas $R$-álgebra. Entonces:
a) $S$ es una de Hilbert-Jacobson anillo.
b) Para cada ideal maximal $\mathfrak{P}$ de $S$, $\mathfrak{p} := \mathfrak{P} \cap R$ es un ideal maximal de a $R$.
c) El grado $[S/\mathfrak{P} : R/\mathfrak{p}]$ es finito.
(Este resultado y su prueba se puede encontrar en estas notas: véase el Teorema de 283 en $\S 12.2$.)
En particular cada campo que es un cociente de $\mathbb{Z}[t_1,\ldots,t_n]$ ha finito de grado por encima del $\mathbb{Z}/(p)$, por lo que es finito.
