Ecuaciones de Navier-Stokes, la velocidad satisface la ecuación no local.

Question

Dejemos que $\mathcal{H} = L^2(\mathbb{T}^3; \mathbb{R}^3)$ sea el espacio de Hilbert de $2\pi$ -periódica, cuadrada-integrable, función vectorial $\textbf{u}: \mathbb{T}^3 \to \mathbb{R}^3$ con el producto interior $$\langle \textbf{u}, \textbf{v}\rangle = \int_{\mathbb{T}^3} \textbf{u}(\textbf{x}) \cdot \textbf{v}(\textbf{x})\,d\textbf{x}.$$ Definimos los subespacios $\mathcal{V}$ y $\mathcal{W}$ de $\mathcal{H}$ por \begin{align*} \mathcal{V} & = \{\textbf{v} \in C^\infty(\mathbb{T}^3; \mathbb{R}^3) \mid \nabla \cdot \textbf{v} = 0\},\\ \mathcal{W} & = \{\textbf{w} \in C^\infty(\mathbb{T}^3; \mathbb{R}^3) \mid \textbf{w} = \nabla \varphi \text{ for some }\varphi: \mathbb{T}^3 \to \mathbb{R}\}.\end{align*} Ahora, puedo demostrar que $\mathcal{H} = \mathcal{M} \oplus \mathcal{N}$ la suma directa ortogonal de $\mathcal{M} = \overline{\mathcal{V}}$ y $\mathcal{B} = \overline{\mathcal{W}}$ .

Dejemos que $P$ sea la proyección ortogonal sobre $\mathcal{M}$ . La velocidad $\textbf{v}(\textbf{x}, t) \in \mathbb{R}^3$ y la presión $p(\textbf{x}, t) \in \mathbb{R}$ de un fluido incompresible y viscoso satisfacen las ecuaciones $$\textbf{v}_t + \textbf{v} \cdot \nabla \textbf{v} + \nabla p = \nu \Delta \textbf{v}, \quad \nabla \cdot \textbf{v} = 0.$$ Pregunta. ¿Cómo puedo ver que la velocidad $\textbf{v}$ satisface la ecuación no local $$\textbf{v}_t + P[\textbf{v} \cdot \nabla \textbf{v}] = \nu \Delta\textbf{v}?$$

Answer 1

Reordena la ecuación y aplica la proyección en ambos lados:

$$v \cdot \nabla v = v\Delta v - v_{t} - \nabla p \Rightarrow P[v \cdot \nabla v] = P[v\Delta v - v_{t}] - P[\nabla p] = P[v\Delta v - v_{t}] $$

desde $\nabla p \in \bar{W}$ . Para $v \in C^{\infty}(\mathbb{T}^{3}, \mathbb{R}^{3})$ no es difícil de ver

$$\nabla \cdot (v\Delta v - v_{t}) = v\Delta(\nabla \cdot v) - (\nabla \cdot v)_{t} = 0 \Rightarrow v\Delta v - v_{t} \in \bar{V}$$

Así,

$$P[v \cdot \nabla v] = v\Delta v - v_{t} \Rightarrow v_{t} + P[v \cdot \nabla v] = v\Delta v$$

Nótese que la proyección explícita se llama proyección de Leray: https://en.wikipedia.org/wiki/Leray_projection