Cómo probar el conjunto $S=\{(x,y) \in \mathbb {R}^2~ \vert ~y>x^2\}$ está abierto (necesito algunas pistas)

Question

P: Demuestre $S=\{(x,y) \in \mathbb {R}^2~ \vert ~y>x^2\}$ está en abierto en $ \mathbb {R}^2$ .

Una de mis intuiciones:
$S=\{(x,y) \in \mathbb {R}^2~ \vert ~y>x^2\}=\{(x,y) \in \mathbb {R}^2~ \vert ~y-x^2>0\}$
Defina $f: \mathbb {R^2} \rightarrow\mathbb {R}$ por $f(x,y)=y-x^2$ .
Luego $f$ es continua y $S=f^{-1}((0,+ \infty ))$ .
Desde $(0,+ \infty )$ está abierto, $S=\{(x,y) \in \mathbb {R}^2~ \vert ~y>x^2\}$ está abierto en $ \mathbb {R^2}$ .

¿Alguien puede decirme si esta prueba es válida o no? No estoy seguro del conjunto. $(0,+ \infty )$ siendo abierto.
Si alguien sabe cómo probar esto con un balón abierto $B((a,b),r)$ para $(a,b) \in S$ te lo ruego, dilo.

Answer 1

Tu prueba parece estar bien. $(0, \infty )$ está abierto en $ \mathbb {R}$ porque si $x \in (0, \infty )$ entonces deja $ \epsilon = \frac {x}{2}$ entonces claramente $(x- \varepsilon , x+ \varepsilon ) \subset (0, \infty )$ .

Answer 2

Su prueba parece estar bien. Para probar esto el $ \varepsilon $ -en el camino de la pelota, dejemos $A = \{ (x,y) : y = x^2 \} \subseteq \mathbb {R}^2$ . Entonces deja $(a,b) \in S$ . Deje que $ \varepsilon = \frac {1}{2} \inf \{ d((a,b),(c,d)) : (c,d) \in A \}$ . Este $ \varepsilon $ debería hacer el trabajo.