¿Prueba de Euler ' fórmula de s que ' diferenciación del uso de t?

Question

Entonces, vi a una 'prueba' de que el seno y coseno de la suma de ángulos de fórmulas,de es decir,$\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x \sin y$, usando la fórmula de Euler, $e^{ix}=\cos x+i\sin x$. Multiplicando por $e^{iy}$, se puede obtener el resultado deseado.

Sin embargo, esta 'prueba' parece ser el razonamiento circular, como todas las pruebas que he visto de la fórmula de Euler implicar la búsqueda de la derivada del seno y del coseno funciones. Pero para encontrar la derivada de seno y coseno a partir de primeros principios requiere el uso del seno y coseno de la suma de ángulos fórmulas.

Entonces, ¿hay alguna prueba de la fórmula de Euler que no se trata de encontrar la derivada de seno o coseno? Sé que usted puede probar las fórmulas trigonométricas geométricamente, pero es más laborioso de hacer.

Answer 1

Hay una manera de probar la fórmula de Euler sin utilizar serie de energía. Prueba $\frac {1}{1+x^2}$ la integración mediante fracciones parciales para obtener una fórmula para el logaritmo complejo. Entonces tienes que utilizar fórmulas de conversión polar.

Answer 2

Otra posible definición de seno y coseno es como soluciones de la ecuación $$ -u''+u=0, $$ con $\sin$ el uno con $u(0)=0$, $u'(0)=1$, y $\sin$ define como $-\cos'$ (teoremas de singularidad implica esto da una definición operativa). Es también evidente que, si $u$ satisface la ecuación, por lo que no $au'$: $$ 0=a(-u''+u)' = -(au')''+(au'). $$ Así que tenemos la siguiente ecuación diferencial: $$ \frac{d}{dx}(\cos{x}+i\sin{x}) = i(\cos{x}+i\sin{x}), $$ ($(\cos+i\cos')' = \cos'+i\cos''=\cos'+i\cos=i(\cos-i\cos')$) por $\cos{x}+i\sin{x}$ es una solución de $u'=iu$$u(0)=1$. Pero sabemos que (a partir de las propiedades de la exponencial, dondequiera que usted desea obtener de) que $e^{ix}$ es también una solución de este tipo. De ahí la singularidad teorema da $$ e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}. $$

Ahora, la adición de fórmulas también puede ser demostrado por la diferenciación: tenemos que $$ u(x) = \sin{(x+y)} $$ es una solución a $-u''+u=0$ con $u(0)=\sin{y}$, $u'(0)=\cos{y}$. A continuación, la unicidad para ecuaciones diferenciales implica que $$ u(x) = u(0)\cos{x}+u'(0)\sin{x} = \sin{y}\cos{x}+\cos{y}\sin{x}, $$ debido a $\cos$ $\sin$ son linealmente independientes. Usted puede hacer $\cos{(x+y)}$ en el mismo camino.

Answer 3

Como los comentaristas han señalado, si o no su prueba es circular depende de cómo se defina $\sin$$\cos$.

El estándar de prueba de la fórmula de Euler es: definir $$\sin(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}z^{2n+1}}{(2n+1)!}\qquad \cos(z)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{z^{2n}}{(2n)!}$$
y $$\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}$$ Demostrar que la serie converge absolutamente para todos los $z$, luego deje $z=i\theta$ y deducir la fórmula de Euler.

Un primer enfoque es el de comenzar con la geometría del círculo unidad y, a continuación, razón geométricamente acerca de los límites, pero este se ejecuta en dificultades cuando intenta interpretar $\sin$ o $\cos$ de un número complejo, ya que han perdido su interpreteation. Ya es posible comenzar con la definición de la serie, y deducir una interpretación geométrica, pero no viceversa, esta es la forma en que se realiza habitualmente.

Answer 4

Primero de todo, ¿cómo estás definiendo $e^z$ complejas $z$? Por ejemplo, yo podría fácilmente definir $e^z = e^{Re(z)}$ y me gustaría conseguir una función continua en el complejo los números que están de acuerdo con la función de $e^x$ sobre los números reales, y que incluso todavía satisface $e^{z+1} = e^z \cdot e^1$.

La "correcta" la extensión de la exponencial se caracteriza por el hecho de que es la única extensión que es diferenciable como una función compleja (es decir, holomorphic). Vamos a tomar esto a nuestra definición de la exponencial compleja.

Esto implica que está de acuerdo con cualquier expansión en series de taylor centrada en un valor real, siempre que esté en el radio de convergencia (que en este caso particular es infinito). Por lo tanto, nuestra definición nos da la costumbre de potencia de la serie de la representación (es decir, la serie de taylor en 0). También nos dice que el funcional de la ecuación de $e^{z+w}=e^ze^w$, y el diferencial de la ecuación de $\frac{d}{dz}e^z = e^z$ está satisfecho para valores complejos así.

Ahora que tenemos una definición y algunas de las propiedades que vamos a darle una prueba geométrica. Considere la curva $t \rightarrow e^{it}$ en el plano complejo. Su imagen se encuentra en el círculo unidad $|z|=1$, ya que el $|e^{it}|^2 = e^{it}e^{-it} = e^0 = 1$. Por otra parte, su derivada con respecto a $t$ $ie^{it}$ que lo es también de la magnitud de $1$.

Por lo $e^{it} = x(t)+iy(t)$ es una unidad de velocidad de la parametrización de la unidad de círculo $\{x+iy | \ x^2+y^2=1\}$ que comienza en el punto correspondiente a $(x,y)= (1,0)$ y comenzando con $y'(0) >0$. El $x$ $y$ coordenadas de una unidad de velocidad de parametrización son precisamente la definición geométrica de seno y coseno.

Answer 5

Primera nota de que las trigonométricas, además de las fórmulas puede ser comprobado con puras y geométricas argumentos (sin el uso de la fórmula de Euler) como se puede ver aquí.

El uso de este resultado podemos encontrar las derivadas de las funciones $\sin x$ $\cos x$ $x \in \mathbb{R}$ y sus expansiones de Taylor.

$$ \sum_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^k\,x^{2k}}{(2k)!}= 1-\dfrac{(x)^2}{2!}+\dfrac{(x)^4}{4!}-\dfrac{(x)^6}{6!}+ \cdots = \cos(x) $$ $$ \sum_{k=0}^\infty\dfrac{(-1)^k\,x^{2k+1}}{(2k+1)!}= x-\dfrac{(x)^3}{3!}+\dfrac{(x)^5}{5!}+\cdots =\sin(x) $$

Ahora, usando la serie de la definición de la función exponencial para una variable compleja, podemos encontrar: $$ \begin{split} e^{ib}= \sum_{k=0}^\infty\dfrac{(ib)^k}{k!}&=1+ib+\dfrac{(ib)^2}{2!}+\dfrac{(ib)^3}{3!}+\cdots+\dfrac{(ib)^n}{n!}+\cdots\\ &=1-\dfrac{(b)^2}{2!}+\dfrac{(b)^4}{4!}-\dfrac{(b)^6}{6!}+ \cdots +i\left[ b-\dfrac{(b)^3}{3!}+\dfrac{(b)^5}{5!}+\cdots \right] \end{split} $$ y esta es la fórmula de Euler.