Demostrar que en un dominio de Dedekind cada ideal es o bien principal o generado por dos elementos.
Ayúdame con algunas pistas.
¡Muchas gracias!
Respuestas
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Pistas:
Deje que $R$ ser un dominio de Dedekind, y dejar $I \subseteq R$ ser cualquier ideal. Factor $I$ como $ \mathfrak {p}_1^{e_1} \cdots\mathfrak {p}_n^{e_n}$ . Toma cualquiera. $ \alpha\in I-\{0\}$ y el factor $( \alpha )$ como $ \mathfrak {p}_1^{f_1} \cdots\mathfrak {p}_n^{f_n} \mathfrak {q}_1^{g_1} \cdots\mathfrak {q}_m^{g_m}$ . Sabemos que $f_i \geqslant e_i$ desde $( \alpha ) \subseteq I$ para que $I \mid ( \alpha )$ . Ahora explique por qué existe un $ \beta\in R$ de tal manera que $v_{ \mathfrak {p}_i}( \beta )=e_i$ y $v_{ \mathfrak {q}_i}( \beta )=0$ . Explica entonces por qué
$$( \alpha , \beta )= \text {gcd}(( \alpha ),( \beta ))= \mathfrak {p}_1^{e_1} \cdots\mathfrak {p}_n^{e_n}=I$$
Esto, de hecho, muestra que para cualquier $I$ y cualquier $ \alpha\in I-\{0\}$ siempre se puede encontrar un generador complementario.
shovavnik
Puntos
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Basta con mostrar que R/(x) es un PIR por cada unidad no nula x. Si se puede utilizar el teorema de la estructura para los anillos en los que cada ideal es un producto de los ideales primarios (llamados anillos ZPI generales), esto es inmediato, ya que cualquier anillo de dimensiones nulas de este tipo es un PIR. (Un anillo ZPI general es un producto directo finito de los dominios Dedekind y PIR con un primo).
Alternativamente, no es difícil probar directamente que R/(x) es un PIR. (Este es un caso especial mucho más fácil del teorema). Al ser un anillo ZPI general semicuasi-local de dimensión cero, es un producto directo finito de (necesariamente cuasi-local) anillos conectados. Estos factores son PIR ya que cada ideal principal es una potencia del ideal máximo, por lo que R/(x) es un PIR.
