Hay geometrías/espacios donde pi es una simple (o al menos racional) constante?

Question

He encontrado este artículo sobre la pi: http://blog.plover.com/math/pi.html y mientras me pareció muy interesante, parecía inacabado. El punto básico de este artículo es que la pi es complejo (por ejemplo, e tiene una simple continuación de la fracción de representación: [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, ...], pero pi no), y el autor afirma que esta complejidad se debe a la naturaleza no lineal de la distancia euclidiana métrica. Sin embargo, el autor no tiene una conclusión, y yo sentía que todavía tenía algunas preguntas que no fueron satisfechos:

1) ¿Cómo funciona un complejo constante (pi) surgen de una simple definición (un círculo)?

a) Es debido a que la base-10 representación decimal es errónea, y no es otra representación de números donde pi es simple? Si es así, ¿qué es esta representación?

b) ¿O es porque de alguna de las propiedades del espacio euclidiano, como la naturaleza no lineal de la distancia métrica. Si es así, donde hace exactamente esta propiedad entran en juego en la definición de pi, y cómo crear esa complejidad? Parece una simple raíz cuadrada de la suma de cuadrados de métrica no debería crear un extraño constante (o si lo hizo, que la constante tendría algo que ver con el número 2).

Además, si la respuesta es b, entonces existen geometrías o espacios que no tienen esta propiedad, tales que pi puede ser una simple constante?

Espero que mis preguntas no son demasiado vagos! Gracias!

edit: Por complejo (yo probablemente debería haber dicho algo complicado) me refiero a que, como se señala en el artículo, mientras que otros números irracionales como sqrt(2) o e tienen buenas representaciones (en los dos casos, ellos tienen buenos continuó fracción formas), pi no tiene una buena continuación a fracción. Por eso me preguntaba si hay cualquier número real de representaciones donde pi tiene una bonita forma, similar a la e de la representación en la continuación de fracción.

Mi principal línea de investigación (que es la misma línea de investigación de los vinculados incompleta artículo), es: ¿cómo una simple definición de un círculo: todos los puntos que están a la distancia r de distancia de un centro, de crear un increíblemente complicada número?

Answer 1

Primero de todo, para los modernos matemáticos $\pi$ es un número en particular que puede ser definida de muchas maneras, muchos de los cuales tienen poco que ver con la geometría. En otra geometría, la relación de la circunferencia al diámetro de un círculo que puede ser diferentes, pero no ser $\pi$.

Otro poco de terminología: no decir "complejo" para un matemático cuando te refieres al "complicado". Los números complejos son algo completamente diferente.

Por ejemplo, si se utiliza el "$1$-norma" de manera que la distancia de$(x_1,y_1)$$(x_2,y_2)$$|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|$, entonces una unidad de "círculo" ha circunferencia $8$ y el diámetro de la $2$, por lo que la relación de la circunferencia al diámetro es $4$. Eso no $\pi$.

Usted podría representar números en un montón de maneras. Por ejemplo, ¿por qué no representar un número $x$ el uso de la representación decimal de $x/\pi$? Por lo tanto $\pi$ está representado por $1.0$ en este sistema. No tiene muchas otras virtudes, sin embargo.

Answer 2

Para el punto 1, letra a), siempre se puede escribir los números con un no-racional de la base. Trivialmente $\pi$ puede ser escrito como $10_{\pi}$ base $\pi$,

pero ahora han perdido la capacidad de escribir cuatro simplemente en la misma base: se trata de $10.220122\ldots_{\pi}$, e incluso tiene otras representaciones, tales como $3.301102\ldots_{\pi}$. Además no es muy fácil de usar esta base.