Definir Jacobi (cuarta) de la theta de la función con el argumento de cero y nome $q$:
$$\theta(q) = 1+2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n q^{n^2}$$
la trama de la función a través de Wolfram|Alpha
la trama de la función a través de Sage
Estoy buscando un simple/estándar/iluminando la prueba de que el hecho de que $\theta(q)$ es convexa para $q\in[0,1]$. La prueba de que he encontrado es esto: Tenemos
$$\theta'(q) = 2\sum_{n=1}^\infty (-1)^n n^2 q^{n^2-1}$$
y uno puede mostrar que para algunos $q_0\in(0,1)$, $n^2q^{n^2-1} - (n+1)^2q^{(n+1)^2-1}$ es el aumento en el $[0,q_0]$ cualquier $n\ge 2$. Esto le da a la convexidad de $\theta(q)$$[0,q_0]$. Para el resto de los valores de $q$, se utiliza la representación de $\theta$ como una suma de más de granos de Gauss:
$$\theta(e^{-\pi^2t/2}) = 2 \sqrt{\frac{2}{\pi t}}\sum_{n=1}^\infty \exp\left(-\frac{(2n-1)^2}{2t}\right)$$
Con esta representación, se puede demostrar que la derivada segunda (wrt $q$) de cada sumando es positivo para$q \ge q_1$,$q_1 < q_0$. Esto produce que la convexidad de la teta.
No me gusta esta prueba, debido a que se requiere el cálculo de $q_1$ $q_0$ explícitamente y no es muy esclarecedor. Traté de jugar con la representación de $\theta(q)$ como el infinito producto
$$\theta(q) = \prod_{n=1}^\infty (1-q^{2n-1})^2(1-q^{2n}),$$
pero no consiguió encontrar nada, excepto que los productos parciales
$$\prod_{n=1}^N (1-q^{2n-1})^2(1-q^{2n})$$
todos parecen ser convexa en $[0,1]$, lo que demostraría la declaración.
Todas las sugerencias son muy bienvenidas!
