$G$ es un grupo finito de orden con el centro de cardinalidad impar. $G$ tiene un no-trivial de los subgrupos $H$ que es simple y $[G:H]=2$. Quiero demostrar que la $H$ es el único no-trivial normal y adecuada subgrupo de $G$.
Yo creo que deberíamos usar este hecho: si $N$ es normal en $G$ de cardinalidad 2, a continuación,$N<Z(G)$.
Esto es lo que he hecho: $H$ es normal, debido a índice 2. Tomar un subgrupo $K$ normal, adecuado y no trivial. $K$ no puede ser contenida correctamente en $H$ porque $H$ es simple. Si puedo demostrar que $H\subseteq K$$|G/K||K/H|=|G/H|=2$$K=H$. Así que quiero demostrar que la $H\subseteq K$. Ahora, $H\cap K\trianglelefteq H$ $H$ es simple, tenemos $H\cap K=\{e\}$ o $H\cap K=H$$H\subseteq K$. Así que supongo que $H\cap K=\{e\}$ y quiero llegar a una contradicción.
No sé si este es el enfoque correcto, pero no sé cómo continuar.
