La existencia de un functor $\mathsf{Sets} \to \mathsf{Groups}$ que admite un adjunto a la izquierda

Question

El olvidadizo functor $\mathsf{Groups} \to \mathsf{Sets}$ admite un adjunto a la izquierda, a saber, "la formación de los grupos gratis" functor. Me preguntaba si este tiene un adjunto a la izquierda. Esto parece poco probable, pero no tengo una prueba. Hay un functor $\mathsf{Sets} \to \mathsf{Groups}$ que admite un adjunto a la izquierda del todo?

Answer 1

El grupo de free functor $F : \textbf{Set} \to \textbf{Grp}$ no tiene a la izquierda adjunto. Si lo hizo, entonces $F$ sería un derecho adjuntos y preservar los límites; pero es fácil comprobar que $F$ ni siquiera preservar la terminal de objeto.

El functor $\textbf{Set} \to \textbf{Grp}$ que envía cada conjunto a la trivial grupo $1$ tiene un adjunto a la izquierda, a saber, el functor $\textbf{Grp} \to \textbf{Set}$ que manda a cada grupo a es el conjunto vacío.