Proyecto de grupos simples

Question

Tengo que dar unos 15-20 minutos de presentación sobre un tema o resultado de tratar con Simples Grupos.

Alguna idea sobre lo que puedo mirar?

Answer 1

Título: "¿por Qué nos preocupamos por simple grupos?"

El objetivo de esta charla sería convencer a la audiencia que la comprensión simple grupos es equivalente a la comprensión de todos los grupos finitos. Por qué?

En primer lugar, hablar de Jordania-Titular. Tenga en cuenta que todos los grupos tienen un conjunto único de factores de composición hasta el isomorfismo, y que estos factores son simples grupos.

En segundo lugar, hablar de la Clasificación. No detenerse demasiado en los detalles. Decir que hay 4 tipos de simples grupos, los dos primeros son de fácil y familiar: cíclica de los grupos de primer orden, la alternancia de los grupos. Luego de mencionar que hay un montón de familias de grupos agrupados bajo el nombre de "grupos de Lie tipo," pero no elaborados. Terminar con esporádicos grupos, haciendo hincapié en que la clasificación de estas llevó para siempre y fueron la parte más difícil de la Clasificación teorema, y nosotros que sólo terminó hace relativamente poco tiempo.

La tercera parte es el problema con la extensión. Ahora que sabemos qué es el simple grupos son, sabemos que todos los posibles conjuntos de factores de composición de un grupo puede tener. Si supiéramos cómo determinar un grupo de isomorfismo dada su conjunto de factores de composición, nos gustaría hacer con la teoría de grupos finitos. El problema es, factores de composición no son únicos dos grupos pueden tener el mismo conjunto (tome $\mathbb{Z}_2\times\mathbb{Z}_2$$\mathbb{Z}_4$, por ejemplo). Así que, ¿a dónde vamos desde aquí? El grupo de extensión problema es responder, cada uno de los grupos $N$$M$, lo que todos los grupos de $G$ puede ocurrir con $M\unlhd G$$G/M\cong N$. Si hemos entendido estos, entonces por inducción y Jordania-Titular, se entenderán todos los grupos finitos.

Así que por eso la gente como 'em.

Answer 2

Aquí hay un par de ideas, que puede ser discutido en tándem.

La composición de la Serie y Extensiones - Cada grupo finito tiene una composición de la serie. La composición de los factores son simples y son independientes de la serie. Este es el Jordan-Titular teorema. Luego, cada grupo puede ser reconstruido por una serie de extensiones de uso de sus factores de composición. Esto nos permite ver la finitos simples grupos como los bloques de construcción básicos de los grupos finitos, como los números primos son los bloques de construcción de los números naturales. La principal diferencia a destacar en esta comparación es que la "unicidad de la factorización de" no mantener con grupos finitos. Por ejemplo, los factores de composición de los dos grupos de orden $4$ son idénticas.

Clasificación de los Finitos Simples Grupos - Quizás la joya de la corona en la teoría de grupos finitos. La lista de los finitos simples grupos es sencillo de escribir, pero es bastante sorprendente que la lista es completa (¿por qué exactamente 26 grupos esporádicos?). Las pruebas de algunos de los profundos teoremas sobre grupos finitos son reducidas a simples grupos (mediante extensiones y la composición de la serie) y, a continuación, la clasificación permite a uno para comprobar el resultado para todos los de la simple grupos. Sería apropiado mencionar Burnside del Teorema y la Feit-Thompson Teorema de aquí, ya que se utiliza mucho en la clasificación.

Answer 3

Además de la puramente grupo de cobertura teórica como señaló Jared y Alejandro Gruber, yo sin duda lo haría mención Monstruoso luz de la Luna, todavía un campo de investigación activa, donde los diferentes campos (finitos simples grupos, las formas modulares, la teoría de cuerdas) vienen juntos.