Superficie proyectiva doble

Question

Dejemos que $X \subset \mathbb{P}^3$ sea una superficie lisa de grado $d>1$ y considerar el mapa de Gauss $X \to \mathbb{P}^{3*}$ que envía un punto de $X$ a su plano tangente. Para ver que la imagen $X^*$ de $X$ es una superficie, me gustaría demostrar que el mapa de Gauss no puede ser constante a lo largo de una curva. ¿Cómo puedo hacerlo?

Además, ¿cuál es el grado de $X^*$ en términos de $d$ ? Podemos suponer que un plano general tangente a $X$ es tangente en un solo punto (por ejemplo, en la característica cero).

Answer 1

Supongamos que $X$ se recorta con un polinomio $P$ de grado $d$ . El mapa de Gauss puede identificarse con el mapa que envía un vector $x$ a los parciales $\{ \frac{\partial P}{\partial x_i} \}$ en particular, es un mapa de grado $d-1$ (en el subconjunto abierto $U$ donde se define), es decir $U \to (\mathbb{P}^3)^*$ tira de $\mathcal{O}(1)$ volver a $\mathcal{O}(d-1)$ en $U$ . Pero un mapa de grado $d-1$ no puede contraer ninguna curva porque $\mathcal{O}(d-1)$ es amplia y no trivial.

Concretamente: si el mapa contrajera una curva, se podría elegir una forma lineal no trivial $\ell$ tal que el mapa $x \mapsto \ell \circ \{ \frac{\partial P}{\partial x_i} \}$ no tiene ceros en una curva (toma una forma lineal que no desaparece en la imagen de la curva contraída); esto es una contradicción.