Si $M$ es una variedad de 4 dimensiones, compacta, simplemente conectada y con límite, ¿cuál es la topología de $\partial M$ ?

Question

Sé que si tenemos un 3manifold compacto simplemente conectado con límite, entonces el límite será $S^2$ . El argumento es el siguiente

1) $H_1(M)\simeq 0$ ;

2) La dualidad de Poincare $H_2(M,\partial M)\simeq H^1(M)\simeq 0$ ;

3) Secuencia exacta larga tenemos

$$\to H_2(M,\partial M)\to H_1(\partial M)\to H_1(M)\to$$

Así, $H_1(\partial M)\simeq 0$ y $\partial M\cong S^2$ . Ahora bien, si hacemos el mismo argumento para una variedad compacta simplemente conectada de 4 dimensiones con límite, no podemos decir nada sobre los grupos de homología 1 y 2, como podríamos hacer arriba. Creo que $\partial M\cong S^3, S^1\times S^2, L(p,q)$ pero el argumento no funciona. ¿Cómo puedo mostrar esto?

Answer 1

Hay muchos más 3manifolds que surgen como el límite de los compactos Contraíble 4manifolds que sólo esos, incluyendo algunas esferas de Brieskorn como $\Sigma(2,3,13)$ . La palabra clave que buscas es colector Mazur. Me da la impresión, y me sorprendería que no fuera cierto, de que no se sabe mucho sobre qué 3manifolds surgen como límite de una variedad de Mazur.

Ahora bien, si lo que quieres es simplemente conectarte, cada orientable de 3 manifiesto limita con un 4 manifiesto simplemente conectado. En primer lugar, recordemos el teorema de Lickorish-Wallace, según el cual todo 3manifold orientado $M$ surge de una operación en un enlace en $S^3$ . Esto define un cobordismo $W: S^3 \to M$ que se obtiene uniendo 2 asas a $S^3 \times I$ ; esto se queda simplemente conectado. Ahora simplemente tapa la copia de $S^3$ con una bola. Esto da lugar a un 4manifold simplemente conectado que limita $M$ .

(Por supuesto, un manifold no orientable de 3 dimensiones no puede delimitar un manifold simplemente conectado de 4 dimensiones. Ya que la conectividad simple implica que el 4-manifold es orientable; y el límite de un manifold orientable es orientable).