Demostrar que un repliegue de un espacio de Hausdorff es cerrado.

Question

Un subespacio $A \subset X$ se llama un repliegue de $X$ si hay un mapa $r: X \rightarrow A$ tal que $r(a) = a$ para todos $a \in A$ . (Este mapa se denomina repliegue).

Prueba. Dejemos que $x \notin A$ y $a =r(x) \in A$ . Desde $X$ es Hausdorff, $x$ y $a$ tienen vecindades disjuntas $U$ y $V$ respectivamente. Entonces $r^{−1}(V \cap A) \cap U$ es una vecindad de $x$ disjuntos de $A$ . (*) Por lo tanto, $A$ está cerrado.

No entiendo cómo " $r^{−1}(V \cap A) \cap U$ es una vecindad de $x$ disjunta de $A$ " implica que $A$ está cerrado. Agradecería que alguien me indicara la dirección correcta.

Answer 1

La prueba muestra que el complemento de $A$ está abierto.

Answer 2

Por qué $r^{-1}(V\cap A)\cap U$ es disjunta de $A$ ?

$$ \begin{array}{rcl} y\in r^{-1}(V\cap A)\cap U & \Leftrightarrow & y\in\{ z\in X: r(z)\in V\cap A \}\cap U \\ & \Leftrightarrow & y\in\{ z\in U: r(z)\in V\cap A \}. \end{array} $$ Así que $y\notin A$ . Si lo contrario fuera cierto $\;$ ( $y\in A$ ) $\;$ debería ser $y\in U \Rightarrow r(y)\in U$ , $\;$ pero $r(y)\in V\cap A\subset V$ y $U\cap V=\varnothing$ .