Estoy leyendo una prueba de un teorema, "Supongamos $a, b: H^*(-, \mathbf{Z}_2)\to H^{*+k}(-, \mathbf{Z}_2)$ son dos estable (desplazamientos con suspensión isomorfismo) cohomology operación de grado k. Si $a(x)=b(x)$ siempre $x$ es un producto de 1-dimensional clases, a continuación,$a=b$."
En la prueba, dice que "desde $a$ $b$ son estables, es suficiente para mostrar que $a(l_n)=b(l_n)$ $n\gg 0$ donde $l_n$ es la clase fundamental de $H^*(-, \mathbf{Z}_2)$." Por qué es esto cierto?
El Yoneda lema dice que cualquier transformación natural como $a$ entre los dos representable functors ($H^i(-, \Bbb Z/2\Bbb Z)$$H^{i+k}(-, \Bbb Z/2\Bbb Z)$ en este caso) se determina de forma única por los mapas entre la representación de los objetos. En nuestro caso, este es un mapa de $K(\Bbb Z/2\Bbb Z, i) \to K(\Bbb Z/2\Bbb Z, i+k)$, que corresponde precisamente al elemento $a(l_i)$. Por lo tanto, si $a(l_i) = b(l_i)$, $a$ $b$ coinciden en todos los elementos de cualquier grupo $H^i(X, \Bbb Z/2\Bbb Z)$.
Hasta ahora lo que hemos hecho no uso la estabilidad de la hipótesis. Si nosotros tomamos esto en cuenta, podemos ver que $a,b: H^i(-, \Bbb Z/2\Bbb Z) \to H^{i+k}(-, \Bbb Z/2\Bbb Z) $ tanto puede reescribirse de la siguiente composición de la suspensión isomorphisms y cambió las versiones de las operaciones: $$ H^i(-, \Bbb Z/2\Bbb Z) \cong H^n(\Sigma^{n-i}-, \Bbb Z/2\Bbb Z) \H^{n+k}(\Sigma^{n-i}-, \Bbb Z/2\Bbb Z) \cong H^{i+k}(-, \Bbb Z/2\Bbb Z) $$ Esto nos muestra que si $a$ $b$ coinciden en $n$-th cohomology grupos para algunas particular $n\ge i$, coinciden en $i$-th cohomology grupos. Por lo tanto, si coinciden en $n$-th cohomology grupos para que todos lo suficientemente grande $n$, coinciden en general.
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