¿La serie $\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k^{\log k}}\right)$ convergen?

Question

$$\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k^{\log k}}\right)$$ este es converger. Pero, ¿cómo? Creo que aquí utilizamos la comparación de thm.

Answer 1

Intente comparar esta serie a $$\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}.$$ Since $\log(x)\geq 2$ for $x\geq e^2$, después de tirar un número finito de términos, usted puede probar la convergencia.

Añadido: Alternativamente, mediante la prueba de condensación de Cauchy, sólo tenemos que demostrar la convergencia de $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^n}{2^{n^{2}\log2}}.$$

Answer 2

Deje $a_k = 1/k^{\log k}$. Entonces $$\begin{eqnarray*} \frac{a_{k+1}}{a_k} &=& \frac{k^{\log k}}{(k+1)^{\log (k+1)}} \\ &=& \exp \left[\log^2 k - \log^2(k+1)\right]. \end{eqnarray*}$$ Ahora muestran $\log^2 k < \log^2(k+1)$ $k\ge 1$ y aplicar la prueba de razón.