Tengo curiosidad acerca de si hay soluciones racionales de la ecuación de $\frac{1}{x} = x - \left \lfloor{x}\right \rfloor$. La ecuación tiene infinitas soluciones, que puedo deducir de la siguiente manera:
1) Nota, para $x > 1$, $0 < \frac{1}{x} < 1$
2) Nota, para $x>1$, $x - \left \lfloor{x}\right \rfloor$ es periódica con periodo 1, que varía entre 0 y 1
Por lo tanto, hay infinitamente muchos se cruza. Esto también puede ser visto fácilmente por medio de gráficas LHS y RHS como funciones. Además, observamos que las soluciones sólo se producen cuando se $x > 1$.
Sin embargo, después de examinar muchas de las soluciones que, yo no encuentro ninguna racional. Dejando $x = \frac{p}{q}$ donde $p,q \in \mathbb{R}$ $p > q$ (debido a $x>1$) entonces tenemos:
$\frac{q}{p} = \frac{p}{q} - \left \lfloor{\frac{p}{q}}\right \rfloor$
$\frac{q}{p} = \frac{(p \mod q)}{q}$, que proviene del hecho de que $\frac{p}{q} - \left \lfloor{\frac{p}{q}}\right \rfloor$ básicamente elimina la parte del número entero de $\frac{p}{q}$, y las hojas de la parte fraccionaria.
$\frac{q^2}{p} = (p \mod q)$
Sin embargo, en este punto, me quedo atascado. Es evidente que $p$ no puede ser un múltiplo de $q$ y $q < p < q^2$. Me estoy planteando en la actualidad tratando de hacer algún tipo de factorización prima argumento, pero no estoy seguro de lo que vería. Agradecería cualquier ayuda!
