¿Cómo puedo (convenientemente?) mostrar que la invariabilidad de la Lagrangiana y Hamiltoniana (es decir, la cinética, así como el potencial de la energía, de manera independiente, invariante) conducirá a una ley de conservación utilizando sólo el formalismo Hamiltoniano? Estoy en lo correcto, la invariancia de un Hamiltoniano no tiene que llevar a una ley de conservación, si la correspondiente de Lagrange no es invariante (es decir, sólo $T + V$ es invariante, sino $T - V$ no lo es)?
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Stefano
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Cabe destacar que el teorema de Noether es una declaración acerca de las consecuencias de las simetrías de una acción funcional (a diferencia de, por ejemplo, las simetrías de las ecuaciones de movimiento, o soluciones de los mismos, cf. este Phys.SE post). Así que para el uso del teorema de Noether, que en primer lugar la necesidad de una acción de la formulación. ¿Cómo podemos obtener una acción para una teoría Hamiltoniana? Bien, supongamos por simplicidad considerar el punto de la mecánica (como oposición a la teoría de campo, que es una simple generalización). A continuación, el Hamiltoniano de acción de lee
$$\tag{1} S_H[q,p] ~:= \int \! dt ~ L_H(q,\dot{q},p,t). $$
Aquí $L_H$ es el llamado Hamiltoniano de Lagrange
$$\tag{2} L_H(q,\dot{q},p,t) ~:=~\sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - H(q,p,t). $$
Uno puede demostrar que el de Euler-Lagrange (EL) ecuaciones para el Hamiltoniano de acción (1) conduce a Hamilton ecuaciones de movimiento
$$\etiqueta{3} \dot{p}^i~\aprox~ \{q^i,H\}~=~\frac{\partial H}{\partial p_i}\qquad \text{y}\qquad \dot{p}_i~\aprox~ \{p_i,H\}~=~-\frac{\partial H}{\partial q^i}. $$
[Aquí el $\approx$ símbolo significa la igualdad en la cáscara, es decir, el modulo de las ecuaciones de movimiento (moe).] De manera equivalente, para una cantidad arbitraria de $Q=Q(q,p,t)$ podemos escribir colectivamente el Hamilton misiones de observación electoral (3) como
$$\tag{4} \frac{dQ}{dt}~\approx~ \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}.$$
A su vez, se puede ver la acción (1) como una de primer orden de Lagrange del sistema de $L_H(z,\dot{z},t)$ en dos veces como muchos variable
$$\tag{5} (z^1,\ldots,z^{2n}) ~=~ (q^1, \ldots, q^n;p_1,\ldots, p_n).$$
Volviendo a la OP de la pregunta, el teorema de Noether puede entonces aplicarse a la acción de Hamilton (1) para investigar las simetrías y leyes de conservación.
Ejemplo 1: sea la dada una cantidad $Q=Q(q,p,t)$ de manera tal que la transformación infinitesimal
$$ \delta z^I~=~ \{z^I,Q\}\epsilon,\qquad I~\in~\{1, \ldots, 2n\}, \qquad \delta t~=~0,$$ $$\etiqueta{6} \delta q^i~=~\frac{\partial Q}{\partial p_i}\epsilon, \qquad \delta p_i~=~ -\frac{\partial Q}{\partial q^i}\epsilon, \qquad i~\~\{1, \ldots, n\},$$
generado por $Q$, y con infinitesimal parámetro $\epsilon$, es un quasisymmetry de los Hamiltonianos de Lagrange
$$\tag{7} \delta L_H~=~\epsilon \frac{d f^0}{dt},$$
donde $f^0=f^0(q,p,t)$ es alguna función. El desnudo de Noether de carga es, por definición,
$$\etiqueta{8} P^0~:=~ \sum_{I=1}^{2n}\frac{\partial L_H}{\parcial \dot{z}^I} \{z^I,Q\} ~\stackrel{(2)}{=}~ \sum_{i=1}^n p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}.$$
El teorema de Noether, a continuación, garantiza un off-shell Noether identidad
$$ \frac{d (P^0-f^0)}{dt} ~=~-\sum_{I=1}^{2n}\frac{\delta S_H}{\delta z^I} \{z^I,Q\} $$ $$\etiqueta{9}~\stackrel{(2)}{=}~ \sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial Q}{\partial z^I} +\{H,Q\} ~=~\frac{dQ}{dt}-\frac{\partial Q}{\partial t} +\{H,Q\}. $$
En primer lugar, el off-shell de Noether de identidad (9) implica que la completa correspondiente Noether cargo $Q^0-f^0$ se conserva en la cáscara
$$\tag{10} \frac{d(Q^0-f^0)}{dt}~\approx~0.$$
En segundo lugar, el off-shell de Noether de identidad (9) puede escribirse como
$$\tag{11} \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}~=~\frac{dg^0}{dt}~=~\sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial g^0}{\partial z^I}+\frac{\partial g^0}{\partial t}, $$
donde hemos definido la cantidad
$$\tag{12} g^0~:=~Q+f^0-Q^0.$$
Llegamos a la conclusión de la shell de identidad (11) que (i) $g^0=g^0(t)$ es una función del tiempo,
$$\tag{13} \frac{\partial g^0}{\partial z^I}~=~0;$$
y que (ii) las siguientes off-shell tiene identidad
$$\etiqueta{14} \{P,H\} +\frac{\partial Q}{\partial t} ~=~\frac{\partial g^0}{\partial t}.$$
Tenga en cuenta que el quasisymmetry y el nca. (6)-(10) son invariantes si redefinimos el generador
$$\tag{15} Q ~~\longrightarrow~~ \tilde{Q}~:=~Q-g^0 . $$
A continuación, el nuevo $\tilde{g}^0=0$ se desvanece. Dejar caer la tilde de la notación, el off-shell de identidad (14) se simplifica a
$$ \tag{16} \{Q,H\} +\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0.$$
Ejemplo 2: por el Contrario, si no se le da una cantidad $Q=Q(q,p,t)$ tal que (16) sostiene off-shell, entonces la transformación infinitesimal (6) generado por $Q$ es un quasisymmetry de los Hamiltonianos de Lagrange
$$ \delta L_H ~\stackrel{(2)}{=}~\sum_{i=1}^n\dot{p}^i \delta p_i
-\sum_{i=1}^n\dot{p}_i \delta q^i -\delta H
+\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^np_i \delta q^i \qquad$$
$$~\stackrel{(6)+(8)}{=}~ -\sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I
\frac{\partial Q}{\partial z^I}\epsilon
-\{H,Q\}\epsilon + \epsilon \frac{d Q^0}{dt}$$
$$\tag{17}~\stackrel{(16)}{=}~ \epsilon \frac{d (Q^0-Q)}{dt}~\stackrel{(18)}{=}~ \epsilon \frac{d f^0}{dt},$$
debido a $\delta L_H$ es un tiempo total de derivados. Aquí hemos definido $$\tag{18} f^0~=~ Q^0-Q .$$
El completo correspondiente Noether cargo
$$\tag{19} Q^0-f^0~\stackrel{(18)}{=}~Q $$
es sólo el generador de $Q$ empezamos con! Finalmente, el teorema de Noether estados de la plena Noether la carga se conserva en la cáscara
$$\tag{20} \frac{dQ}{dt}~\approx~0.$$
Tenga en cuenta que es una exageración para el uso del teorema de Noether para deducir eq. (20) a partir de la eq. (16). De hecho, eq. (20) de la siguiente manera directa a partir de la asunción (16) por el uso de Hamilton misiones de observación electoral (4) sin el uso del teorema de Noether! Por las razones anteriores, como los puristas, rechazamos la praxis común para referirse a la implicación (16)$\Rightarrow$(20) como un 'Hamiltonianos versión del teorema de Noether'.
Curiosamente, el inverso del teorema de Noether trabaja para el Hamiltoniano de acción (1), es decir, una ley de conservación de la (20) conduce a una quasisymmetry (6) de la acción (1), cf. por ejemplo, mi Phys.SE la respuesta aquí.
Ejemplo 3: Las simetrías asociadas con la conservación de la Laplace-método de Runge-Lenz vector en el problema de Kepler es difícil de entender a través de una puramente Lagrangiano de la formulación en el espacio de configuración
$$\tag{21} L~=~ \frac{m}{2}\dot{q}^2 + \frac{k}{q},$$
pero puede ser fácilmente descrito en el correspondiente Hamiltoniana de la formulación en el espacio de fase, cf. Wikipedia y este Phys.SE post.
Jon
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171
Si el Hamiltoniano es invariante, que significa que no debe haber una fuga de Poisson soporte para alguna función $F(q,p)$ de su canónica de coordenadas de modo que $$\{ H(q,p), F(q,p)\} = 0$$ Desde el corchete de Poisson con el Hamiltoniano también se da el tiempo de derivados, automáticamente tiene su ley de la conservación.
Una cosa a tener en cuenta: El Lagrangiano es una función de la posición y la velocidad, mientras que el Hamiltoniano es una función de la posición y el momentum. Por lo tanto, su $T$ $V$ $L = T - V$ $H = T + V$ no son las mismas funciones.
