Cómo encontrar a $f_1\circ f_2\circ\cdots f_{13}(2),$ donde $f_n(x) = \frac{nx+9}{x+3}$

Question

Cómo encontrar a $f_1\circ f_2\circ\cdots f_{13}(2),$ donde $f_n(x) = \frac{nx+9}{x+3}$ en un período de tiempo razonable?

He resuelto este problema a través de la fuerza bruta, sino que tomó cerca de una hora, y obtuvo la respuesta final $23/11.$ hay una mucho más rápida manera de hacer esto? (El tiempo recomendado es de 5 a 10 minutos)

Answer 1

Express $f_n(x) = n + \frac{9-3n}{x+3}$. A continuación,$f_3(x) = 3$, para todos los $x$. Por tanto, su expresión se reduce a $f_1(f_2(3))$.

Edit: Como cardboard_box notas en los comentarios, uno necesita comprobar que $f_n(x)\neq -3$ $n\leq 13$ en la anterior composición (y el correspondiente $x$). Usted puede hacerlo como se describe por cardboard_box.