Uso de separación para demostrar que $A \setminus (A \setminus B) = A \cap B$

Question

El problema es el siguiente:

Supongamos $A$ $B$ son conjuntos. Demostrar que $A \backslash (A \backslash B) = A \cap B$.

He reescrito el problema como un bicondicional donde $A \backslash (A \backslash B) \longleftrightarrow A \cap B$. Demostrando la primera parte, $A \backslash (A \backslash B) \rightarrow A\cap B$, fue bastante fácil. Sin embargo, yo estoy buscando la segunda parte, $A\cap B \rightarrow A \backslash (A \backslash B)$, mucho más difícil. Para demostrar que $x \in A \land (x \notin A \lor \ x \in B)$, todo lo que tengo es que $x \in A$$x \in B$. Aún más desconcertante es que estoy supone que debe ser el uso de una disyunción en algún lugar.

Yo debería estar claro que no estoy simplemente tratando de mostrar una equivalencia, pero escribir una prueba lógica.

Answer 1

\begin{align} A\setminus (A\setminus B) &= A\cap (A\setminus B)^C\tag{definition}\\[0.5em] &= A\cap(A\cap B^C)^C\tag{definition}\\[0.5em] &= A\cap (A^C\color{red}{\cup} B)\tag{DeMorgan / %#%#%}\\[0.5em] &= (A\cap A^C)\color{red}{\cup} (A\cap B)\tag{distrib. / %#%#%}\\[0.5em] &= A\cap B\tag{%#%#%} \end {Alinee el}

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Aún más desconcertante es que estoy supongo que utilizando una disyunción en algún lugar.

Sólo he añadido $\color{red}{\text{disjunction}}$ donde se utiliza la disyunción, es decir, $\color{red}{\text{disjunction}}$, para que sea más claro. Realmente es necesario utilizar una elemento persiguiendo a prueba aquí. Álgebra básica de sistema, como la anterior, reduce significativamente el tiempo/trabajo, que tenemos que poner a prueba la identidad deseada.

Answer 2

Proposición

$x \in A\backslash(A\backslash B) \leftrightarrow x \in A∩B$

Definiciones necesitadas

$A\backslash B = x \in A \wedge x \notin B$

$A\cap B = x \in A \wedge x \in B$

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La prueba:

$$\begin{align} x \in A\backslash(A\backslash B) \leftrightarrow x \in A∩B & \equiv x \in A \wedge \neg (x \in A\backslash B) \leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \\ &\equiv x \in A \wedge \neg (x \in A \wedge \neg (x \in B)) \leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \\ &\equiv x \in A \wedge (x \notin A \vee x \in B) \leftrightarrow x \in A \wedge x \in B\\ \\ &\equiv (x \in A \wedge x \notin A) \vee (x \in A \wedge x \in B) \leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \\ \\ &\equiv \bot \vee (x \in A \wedge x \in B) \leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \\ \\ &\equiv x \in A \wedge x \in B \leftrightarrow x \in A \wedge x \in B \\ \\ \end {Alinee el} $$

Answer 3

Voy a probar lo que usted ha $x\in A\cap B\rightarrow x\in A\setminus(A\setminus B)$ con su contrapositivo, es decir,$x\notin A\setminus(A\setminus B)\rightarrow x\notin A\cap B$, y espero que esto le ayudará a ver cómo hacerlo "directamente". El truco está en tensión dialéctica con su declaración una contradicción (al igual que en la tautología paso a continuación). Como alternativa también se puede tratar de trabajar con la expresión que se desea probar ($x\in A\setminus B$ -trate de encontrar lo que es equivalente a-) y saber que la contradicción que usted necesita para tensión dialéctica con su hipótesis original ($x\in A\cap B$).

Prueba por contrapositivo: Supongamos $x\notin A\setminus(A\setminus B)$, por lo tanto, por la definición de "$\setminus$",

$\neg(x\in A \wedge x\notin(A\setminus B))$, con De Morgan y la definición de "$\setminus$"),

$x\notin A \vee \neg\neg(x\in A \wedge x\notin B)$, a partir de aquí, el uso de la doble negación,

$x\notin A \vee (x\in A \wedge x\notin B)$, aplicar la ley distributiva,

$(x\notin A\vee x\in A)\wedge (x\notin A\vee x\notin B)$. La primera parte de la conjunción es una tautología y no contribuye en nada a la conjunción, por lo tanto, la última expresión es equivalente a la segunda parte.

$x\notin A \vee x\notin B$, con De Morgan de nuevo

$\neg(x\in A\wedge x\in B)$, por lo que, finalmente,

$x\notin A\cap B$

Answer 4

No hay necesidad de jerga como bicondicional. Usted está utilizando una barra que significa quitar esos elementos. Por lo $A\backslash B$ significa que los elementos de $A$ que permanecen después de la eliminación de elementos de B a partir de ella. Es decir, aquellos elementos en $A$ no compartida por $B$.Al quitar este set de $A$ (según la notación $A\backslash(A\backslash B)$), llegamos a los elementos $A$ compartido con $B$$A\cap B$.