Encuentra el valor de $a$, $b$ y $c$ para el límite dado.

Question

Pregunta -

Encontrar los valores de $a$, $b$ y $c$, de modo que $$ \lim_{x\to 0} \cfrac{ae^x - b\cos x +c e^{-x} }{x\sin x} = 2 $$

Esto es lo que he probado aún :

Para $ x\to 0 $ el numerador debe también tienden a cero, como : $ e^x , \ \cos x, e^{-x} $$\to 1$$x \to 0$ .

Por lo tanto, tenemos: $$ a - b + c = 0 \\ \color{blue}{\text{O}} \\ b = a + c \\ $$

Ahora, conectando en la ecuación original:

$$\lim_{x\to 0} \cfrac{ae^x -(a+c)\cos x + ce^{-x} }{x^2 \times \frac{\sin x}{x} } = 2 $$

Lo que implica -

$$\lim_{x\to 0} \cfrac{a(e^x - \cos x) + c(e^{-x} - \cos x) }{x^2} =2 $$

Me pongo una onda positiva que hay alguna aplicación de expansión de la serie de $e^x \ \& \ \cos x $ . Traté de que también, sino que simplemente no funcionó. Puede ser que yo no estoy haciendo bien la simplificación. Cualquier ayuda será muy apreciada.

Answer 1

Si $b\neq a+c$ el límite no sería finito. Por lo tanto, tenemos $b=a+c$. El uso de la aproximación $e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)$, $\cos x=1-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$, y $\sin x=x+O(x^2)$ $x\to 0$ obtenemos la expresión $$ \frac{a(1+x+\frac{x^2}{2})-b(1-\frac{x^2}{2})+c(1-x+\frac{x^2}{2})+O(x^3)}{x(x+O(x^2))}, $$ que simplifica [considerando $b=a+c$] para $$ \frac{(a-c)x+\frac{1}{2}(a+b+c)x^2+O(x^3)}{x^2+O(x^3)}. $$ Esto implica que si $a\neq c$, entonces el límite no sería finito. Por lo tanto $$ a=c=\frac{b}{2}. $$ En tal caso, se obtendría que el límite es finito y es exactamente $$ \frac{1}{2}(a+b+c)=2a. $$ Por lo tanto, el único triple $(a,b,c)$ que se cumple la relación es $(1,2,1)$.

Answer 2

Ya que han marcado esta con "expansión de taylor", usted puede ver su límite como

$$\lim_{x\to 0} \cfrac{a(1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots) - b(1-\frac{x^2}{2}+\cdots) +c (1-x+\frac{x^2}{2}-\cdots) }{x(x-\frac{x^3}{6}+\cdots)}$$

Coincidencia de potencias dará $$\lim_{x\to 0} \cfrac{a-b+c}{x^2} + \cfrac{a-c}{x} + \cfrac{\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}}{1} + \cdots =2 $ $ y así

$$a-b+c=0$$ $$a-c=0$$ $% $ $\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=2$que son tres ecuaciones de tres incógnitas, por lo que puede resolver estos.