la adimensionalización del modelo depredador-presa

Question

Dado un conjunto de ecuaciones diferenciales para un modelo depredador-presa (Lotka-Volterra): \begin{align*} \frac{dH}{dt} &= bH - sHP \\ \frac{dP}{dt} &= -dP + esHP \\ \end{align*} Donde $P$ es el número de depredadores, $H$ el número de presas, $t$ tiempo, $b$ la tasa de natalidad de la presa, $d$ la tasa de mortalidad del depredador, $s$ la eficacia de la búsqueda del depredador y $e$ la eficiencia con la que la comida se convierte en depredadores adicionales.

Puedo escribir esto en forma no dimensional utilizando la siguiente parametrización: \begin{align*} h &= \frac{Hes}{d} \\ p &= \frac{Ps}{b} \\ \tau &= \sqrt{bd}t \\ \rho &= \sqrt{\frac{b}{d}} \end{align*}

Para convertirse: \begin{align*} \frac{dh}{d\tau} &= \rho h (1-p) \\ \frac{dp}{d\tau} &= - \frac{1}{\rho} p (1 - h) \\ \end{align*}

Mi pregunta es, ¿cómo se consigue este resultado? Entiendo los fundamentos de la no dimensionalización. Primero encuentro las dimensiones de cada variable y luego defino nuevas variables a partir de productos de variables con la misma dimensión. Sin embargo, creo que las dimensiones de todas las variables/constantes son las siguientes:

$H,P$ en unidades, $t$ en el tiempo y $b,s,d,e$ en sentido inverso al tiempo.

Pero esto no me lleva a ninguna parte.

Answer 1

A veces es obvio qué escalas utilizar; por ejemplo, si hay un término de crecimiento logístico $rN(1-N/K)$ entonces es natural medir el tamaño de la población $N$ en unidades de la capacidad de carga $K$ y el tiempo en unidades de la tasa de crecimiento recíproca $1/r$ .

En otros casos, como aquí, no es tan obvio, pero lo que siempre se puede hacer es introducir en las ecuaciones escalas indeterminadas (que se determinarán después). Tomando $$ H = c_1 h, \qquad P = c_2 p, \qquad t = c_3 \tau, $$ el sistema se convierte en $$ \begin{align*} \frac{c_1}{c_3} \frac{dh}{d\tau} &= b (c_1 h) - s (c_1 h) (c_2 p), \\ \frac{c_2}{c_3} \frac{dp}{d\tau} &= -d (c_2 p) + es (c_1 h) (c_2 p), \\ \end{align*} $$ que se puede reordenar como $$ \begin{align*} \frac{dh}{d\tau} &= (c_3 b) h - (c_2 c_3 s) h p, \\ \frac{dp}{d\tau} &= -(c_3 d) p + (c_1 c_3 es) h p. \\ \end{align*} $$ Ahora trata de elegir $c_1$ , $c_2$ , $c_3$ para que los coeficientes sean lo más sencillos posible. Normalmente no hay una elección canónica que dé el resultado más sencillo, sino que hay muchas opciones que conducen a ecuaciones "igualmente sencillas". (A veces la elección importa, dependiendo de lo que se quiera hacer con las ecuaciones más tarde, pero no creo que haya que preocuparse por esto aquí).

Hay cuatro coeficientes, pero sólo tres opciones a elegir, por lo que no se puede esperar que todos los coeficientes sean iguales a uno, pero se podría, por ejemplo, elegir $c_3=1/b$ y luego elegir $c_1$ y $c_2$ para hacer $c_1 c_3 es=1$ y $c_2 c_3 s=1$ . Esto daría al sistema $$ \begin{align*} \frac{dh}{d\tau} &= h - h p, \\ \frac{dp}{d\tau} &= -(d/b) p + h p, \\ \end{align*} $$ donde se puede llamar al coeficiente restante $d/b$ algo (digamos $\alpha$ ) para obtener la forma final de las ecuaciones.

Ahora bien, esta elección no fue la que hizo quien te dio tus ecuaciones. En su lugar, optaron por hacer los coeficientes de $h$ y $-hp$ iguales en la primera ecuación, y los coeficientes de $-p$ y $hp$ igual en la segunda ecuación. Esto requiere $b=c_2 s$ y $d=c_1 es$ . (Compara esto con las fórmulas dadas que relacionan $P$ y $H$ a $p$ y $h$ Recordando que tenemos $H=c_1 h$ y $P=c_2 p$ .) Finalmente, $c_3$ se eligió por alguna razón para que el factor general $\rho$ en la primera ecuación igual al recíproco del factor global $1/\rho$ en la segunda ecuación. De nuevo, no se trata de una elección canónica, sino más bien arbitraria.