$L\otimes_{\Delta}\text{Hom}_{\Delta}(M,\Delta)\cong \text{Hom}_{\Delta}(M,L)$

Question

Este es el ejercicio 5 de órdenes máximas de I.Reiner. Sin embargo, no es una tarea para casa.

Dejemos que $\Delta$ ser un anillo $L_{\Delta}$ sea un módulo cualquiera, y que $M_{\Delta}$ sea una entidad finitamente generada y proyectiva. Demostrar que
$$L\otimes_{\Delta}\text{Hom}_{\Delta}(M,\Delta)\cong \text{Hom}_{\Delta}(M,L)$$

Hasta ahora he demostrado que esto es cierto para módulos libres generados finitamente. Me cuesta extenderlo a módulos libres arbitrarios porque Hom no conmuta con la suma directa arbitraria en la primera ranura. Entonces, dado cualquier módulo proyectivo $M$ existe un $F$ libre y $M'$ tal que $F=M\oplus M'$ . Entonces tenemos
$$L\otimes_{\Delta}\text{Hom}_{\Delta}(M,\Delta)\oplus L\otimes_{\Delta}\text{Hom}_{\Delta}(M,\Delta)\cong \text{Hom}_{\Delta}(M,L)\oplus \text{Hom}_{\Delta}(M',L).$$ A partir de aquí estoy atascado. Cualquier idea o pista sería muy apreciada. Gracias.

Answer 1

(normalmente) no se mantiene cuando $M$ es libre de rango infinito. Pero cuando $M$ es f.g. proyectiva, entonces $M$ es un sumando directo de un módulo libre f.g., y ya está:

Demuestre que la clase de $M$ s que satisfacen la afirmación es cerrado bajo sumas directas finitas, sumandos directos, y contiene $\Delta$ . Se deduce que la clase contiene todos los módulos proyectivos f.g. Se puede sustituir el mapa por cualquier transformación natural entre funtores aditivos entre categorías abelianas.

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