Intuición detrás de la conexión de una forma

Question

A la hora de definir una conexión en uno de los principales bundle $\pi: P\to M$ con estructura de grupo $G$ lo define como una asociación de un subespacio $H_pP\subset T_pP$ por cada $p\in P$ tal que

1. $T_pP = H_pP \oplus V_pP$
2. Si $\delta_g : P\to P$ es el derecho de acción por $g$, $(\delta_g)_\ast H_p P = H_{p\cdot g}P$ por cada $g\in G$

La intuición detrás de este como sé que es lo que queremos decir, ¿cómo podemos pasar de una fibra a otra. Vertical vectores, que viven en los espacios verticales $V_pP$ no puede hacer esto, debido a que punto a lo largo de las fibras. Debido a que queremos seleccionar en cada punto del complemento, la horizontal vectores, que será punto a otro de la fibra.

Ahora, una forma alternativa de definir una conexión es por medio de un $\mathfrak{g}$valores de un formulario a- $\omega$ tal que

1. Si $A\in \mathfrak{g}$ $X^A$ es el campo de vectores asociado en $P$$\omega(X^A) = A$.
2. $\delta_g^\ast \omega = \operatorname{Ad}_{g^{-1}}\omega$, es decir, para cada $\tau \in T_pP$, $(\delta_g^\ast \omega)_p(\tau) = \operatorname{Ad}_{g^-1}(\omega_p(\tau))$

Luego la horizontal espacios definidos por $H_p P = \ker \omega_p$.

Ahora, dada la intuición sobre lo que la conexión debe ser, cómo intuitivelly podemos entender esto? Cómo puede uno, basado en la definición de una conexión de un formulario, entiendo que es capaz de hacer la misma cosa una conexión hace?

A mí me parece que la conexión de una forma, dado un vector $v\in T_p P$, lo que indica una dirección da una transformación infinitesimal que, en cierto sentido, corrige la dirección, de forma que quede en posición horizontal. Debido a que si el vector a es horizontal ya que da cero. Es esto realmente lo que la forma de conexión no? Si es así, ¿cómo se puede ver esto de una manera más precisa?

Answer 1

Recordar que en cada punto de $p \in P$ vertical en el espacio de la tangente $V_p P$ puede ser identificado con la Mentira de álgebra de la estructura de grupo a través de $(\Psi_p)': \mathfrak{g} \to T_pP$ donde el grupo de acción en $P$ se denota por a $\Psi: P \times G \to P$. Si $\omega$ es su forma de conexión, a continuación, la evaluación de la $\omega(X) \in \mathfrak{g}$ no es nada como la parte vertical del vector tangente $X \in T_pP$ a través de la sobre identificación de $\mathfrak{g}$$V_pP$. Por lo tanto, si usted ha entendido conexiones en términos de la división $TP = HP + VP$, entonces la forma de conexión es nada más como la proyección en la parte vertical.