Problema al contar los estados de espín

Question

Yo no puedo entender cómo muchos de los diferentes estados de spin puedo crear con cuatro electrones del sistema. Creo que puedo crear un spin-cero estado, tres spin-uno de los estados, y cinco spin-dos unidos. Que me da nueve posibles estados en total.

Mi problema es que no se puede especificar un máximo de ocho (complejo) números para describir completamente los estados de spin de los cuatro electrones. Pero el nueve de spin-estados que puedo aparentemente crear corresponden a la armónica esférica funciones y sé con seguridad que son linealmente independientes. Me parece muy mal.

Esta discrepancia en la cuenta no aparece hasta llegar a cuatro electrones. Empeora a medida que agrega más electrones.

¿Alguien más tiene un problema con esto?

EDIT: Gracias por las excelentes respuestas, sobre todo a partir de Lagerbeer. Resulta que yo estaba aún más jodido de lo que pensaba. No tengo problemas con las cuatro electrones....Ya estoy en problemas con los tres. Yo no me di cuenta porque estaba contando 2n electrones de parámetros en lugar de n^2, así que he tenido los 2, 4, 6, 8... (parámetros para describir el giro de un electrón), frente a los 2, 4, 8, 16... como algunas personas han señalado. Y esto tiene que relacionarse con (l,m) estados de spin de 2, 4, 6, 9, 12, 16...

Así que ya hay un problema con tres electrones y se reduce a esto: usted tiene dos estados diferentes con el eje z de spin 1/2: el son (3/2, 1/2) y (1/2, 1/2). Para hacer de ellos de electrones que tiene a su disposición estos tres estados:

{Un} = duu

{B} = udu

{C} = uud

La cosa obvia que hacer es añadir los tres juntos (y, por supuesto, normalizar); y yo creo que cuando lo haga, usted consigue el (3/2, 1/2) del estado. La pregunta es: ¿cómo crear la (1/2, 1/2) estado?

Creo que sé la respuesta y la he publicado en mi blog. Cualquier persona que desee tomar una puñalada en ella?

Answer 1

Ah, esto es algo muy sutil, y es cierto que es el primero de cuatro electrones.

Primero, aquí está una manera fácil de saber cómo muchos estados, usted debe esperar: Sólo tiene que utilizar el "individuo-electron spin-base". Con cuatro electrones, cada uno de ellos podría ser hacia arriba o hacia abajo tirada, así que esperamos que un total de $2^4 = 16$ estados.

Entonces, ¿de dónde te falta el de los estados? Bien, no es más que una vuelta 0 estado, por ejemplo: Usted puede obtener un spin 0 estado si se combinan los dos electrones cada uno en un spin 0 singlete y, a continuación, combinar los dos spin 0 estados generales de spin 0 estado.

Pero también puede combinar dos electrones cada uno en un spin 1 estado y, a continuación, sabemos de las reglas de la adición de angular momenta que el momento angular total de dos spin 1 sistemas pueden ser $0$, $1$ o $2$, por lo que obtener un segundo spin-0 estado de la combinación de la spin-1 se expresa de una manera particular.

Así que aquí está el libro de mantenimiento de:

Tenemos dos spin 0 estados.

Tenemos 9 spin 1 estados (3 maneras de obtener un spin 1 estado: el primer par de electrones que tiene espín 1 y la segunda vuelta 0, o el primer par tiene espín 0, y la segunda tiene espín 0, o ambos tienen spin 1).

Tenemos 5 spin 2 estados.

5 + 9 + 2 = 16.

Answer 2

Lagerbaer ya ha contestado OP pregunta para $n=4$ distinguibles spin dublets. De manera más general, el número de multipletes de espín de $n$ distinguibles spin dublets puede ser deducido de las aplicaciones repetidas de la $SU(2)$ Clebsch-Gordan fusión de la regla

$$ \underline{\large\bf 2} \otimes \underline{\large\bf n}~=~ \left\{ \begin{array}{lcl} \underline{\large\bf n+1}~\oplus~\underline{\large\bf n-1} &\text{for}& n\geq 2, \\ \underline{\large\bf n+1}&\text{for}& n=1, \end{array} \right. $$

y la ley distributiva para$\otimes$$\oplus$. Explícitamente, los primeros tensor de poderes leer

$$ \underline{\large\bf 2}^{\otimes 1} ~=~\underline{\large\bf 2}, $$ $$ \underline{\large\bf 2}^{\otimes 2} ~=~\underline{\large\bf 3}~\oplus~\underline{\large\bf 1} ,$$ $$ \underline{\large\bf 2}^{\otimes 3} ~=~\underline{\large\bf 4}~\oplus~2~\underline{\large\bf 2} ,$$ $$ \underline{\large\bf 2}^{\otimes 4} ~=~\underline{\large\bf 5}~\oplus~3~\underline{\large\bf 3} ~\oplus~2~\underline{\large\bf 1} ,$$ $$ \underline{\large\bf 2}^{\otimes 5} ~=~\underline{\large\bf 6}~\oplus~4~\underline{\large\bf 4} ~\oplus~5~\underline{\large\bf 2} ,$$ $$ \underline{\large\bf 2}^{\otimes 6} ~=~\underline{\large\bf 7}~\oplus~5~\underline{\large\bf 5} ~\oplus~9~\underline{\large\bf 3}~\oplus~5~\underline{\large\bf 1} ,$$ $$ \vdots$$

Aquí las irreps $\underline{\large\bf 1}$, $\underline{\large\bf 2}$,$\underline{\large\bf 3}$, $\ldots$, denotar singlete, dublet, triplete, $\ldots$, es decir, girar $0$, $\frac{1}{2}$, $1$, $\ldots$, respectivamente. El modelo anterior se asemeja triángulo de Pascal. Claramente la fórmula general es de la forma

$$ \underline{\large\bf 2}^{\otimes n}~=~\bigoplus_{k=0}^{[\frac{n}{2}]} m_{n,k} ~\underline{\large\bf n+1-2k}, \qquad n\in \mathbb{N}.$$

Aquí las multiplicidades $m_{n,k}\in \mathbb{N}_{0}$ satisfacer

$$ m_{n,k}~=~0 \quad\text{for}\quad k> [\frac{n}{2}], $$

$$ m_{n,0}~=~1,$$

y

$$ m_{n,k-1}+ m_{n,k}~=~m_{n+1,k}\quad\text{for}\quad k \geq 1. $$

Cerrado fórmula para el multiplicidades lee (hattip:Trimok)

$$m_{n,k}~=~ \frac{n!~(n + 1 - 2k)}{k!~ (n + 1 - k)!}. $$