Interpretar diferenciales de orden superior

Question

Estoy tratando de entender del Teorema de Taylor para funciones de $n$ variables, pero todo esto dimensión superior que me está causando problemas. Uno de mis problemas es la comprensión de los diferenciales de orden superior. Por ejemplo, si tengo una función $f(x, y)$, entonces es el primer diferencial es:

$$df = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial y}dy.$$

A mí esta cantidad está diciendo que:

Un diferencial de cambio en el valor de la función $f(x,y)$ es igual a la función rápida $f(x,y)$ está cambiando con respecto a $x$ multiplicado por diferencia de un cambio en la $x$-coordinar, además de cómo de rápido la función $f(x,y)$ está cambiando con respecto a $y$ multiplicado por diferencia de un cambio en la $y$-coordinar.

Esto parece intuitivo. Pero cuando nos metemos en los diferenciales de orden superior me confundo:

$$d^2f= \frac{\partial^2 f}{\partial y ^2}dy^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}dy\:dx + \frac{\partial^2 f}{\partial x ^2}dx^2$$

¿Cómo se podía interpretar esta cantidad? Lo que aún diferenciales de orden superior? decir $d^3f$ o $d^{1500 }f$ =)

Gracias por la ayuda! =)

Answer 1

Creo que todo esto tiene mucho más sentido cuando te acercas a ella a partir de un conjunto multilineal.

Si $f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ es una función, entonces su diferencial $df$ da una diferente lineal mapa en cada punto. Fundamentalmente tenemos

$$ f(\mathbf{p}+\vec{v})\aprox f(\mathbf{p})+df(\mathbf{p}, \vec{v}) $$

Ahora la segunda diferencial ($d^2f$ en su notación), debe ser algo que registra como $df$ cambia de un punto al siguiente. En otras palabras, debemos como

$$ df(\mathbf{p}+\vec{w}, \vec{v}) \aprox df(\mathbf{p},\vec{v})+d^2f(\mathbf{p},\vec{w},\vec{v}) $$

Lema: "$d^2 f$ es el gadget que lleva dos vectores $\vec{v}$ $\vec{w}$ y escupe el cambio aproximado en $df$ $p$ $p+\vec{w}$cuando es evaluado en la dirección $\vec{v}$"

En un momento dado de la $p$, este mapa gadget $d^2f$ debe ser lineal en ambos $\vec{w}$$\vec{v}$. Así es multilineal función que varía de punto a punto, también conocido como un $2$-tensor de campo!

Podemos deducir una expresión para $d^2f$ como sigue:

$$ \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} dx \otimes dx + \frac{\partial ^2 f}{\partial x \partial y} dx \otimes dy + \frac{\partial ^2 f}{\partial y \partial x} dy \otimes dx + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} dy \otimes dy $$

Taylor teorema llega cuando se intenta aproximar los cambios no sólo en el $df$, pero llevar a aquellos a través de los cambios en $f$. De hacerlo, básicamente, a partir de un punto y la restricción de su método de aproximación a un segmento de línea. Tan sólo enchufe el mismo vector en tanto los argumentos de la segunda diferencial, lo que significa que están realmente trabajando con la asociada a la forma cuadrática.

Si a usted le gustaría venir a una comprensión de Taylor teorema a lo largo de las líneas que aquí se sugiere, te recomiendo que echa un vistazo a mi curso en línea aquí:

http://ximera.osu.edu/course/kisonecat/m2o2c2/course/

Le guiará a través de una selección de ejercicios que poco a poco construir en dificultad, con ustedes el desarrollo de la mayoría de las matemáticas a ti mismo. Un buen sistema de sugerencia (que más a menudo que no se le pide que con un simple o pregunta relacionada) debe asegurarse de que usted puede conseguir a través de él.

Answer 2

Permite denotar $$df = \left(dx\frac{\partial}{\partial x} + dy\frac{\partial}{\partial y}\right)f$$ entonces $$ d^2f = \left(dx\frac{\partial}{\partial x} + dy\frac{\partial}{\partial y}\right)\left(dx\frac{\partial}{\partial x} + dy\frac{\partial}{\partial y}\right)f = \left(dx\frac{\partial}{\partial x} + dy\frac{\partial}{\partial y}\right)^2f $$ esto en el sentido riguroso pero con las expresiones de la forma que podemos expandir como $$ (a+b)^2 = a^2 + ab + ab + ba + b^2 $$ Me quedé con la mitad de los términos de la orden, dependiente ya que no estoy haciendo la suposición de que viajan en esta etapa, a pesar de que para las funciones que me he encontrado (físico aquí), pero no sé si esto generalmente sucede siempre.

De todos modos, el uso de la expresión para a y b, estoy destacando que es simplemente un binomal de expansión de los operadores, de modo de $$ (a+b)^3 = a^3+3a^2b + 3ab^2 + b^3 $$ o, equivalentemente, $$ d^3f = \left(dx\frac{\partial}{\partial x} + dy\frac{\partial}{\partial y}\right)^3f,\\ =\left(dx^3\frac{\partial^3}{\partial x^3} +3dx^2dy\frac{\partial^3}{\partial x^2\partial y} + 3dxdy^2\frac{\partial^3}{\partial x\partial y^2} + dy^3\frac{\partial^3}{\partial y^3}\right)f $$ y así sucesivamente y así sucesivamente..intente generar la suma de la regla para $d^nf$ ;)

Esta es mi humilde opinión, como siempre

Answer 3

En$$d^2f= \frac{\partial^2 f}{\partial y ^2}dy^2 + 2\frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}dy\:dx + \frac{\partial^2 f}{\partial x ^2}dx^2$$, $ \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial y ^ 2} dy ^ 2$ is the rate of change of $ \ frac {\ partial f} {\ partial y}$ on $ y$, same for $ \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial x ^ 2} dx ^ 2$. $ 2 \ frac {\ partial ^ 2 f} {\ partial y \ partial x} dy \: dx$ is the rate of change of $ \ frac {\ partial f} {\ partial y}$ on $ x$ and rate of change of $ \ frac {\ partial f} {\ partial x}$ on $ y ps

De manera similar, puede interpretar los términos que aparecen en diferenciales de orden superior.

Answer 4

Sugerencia

Consideremos primero el caso de una función de $f(x)$ y se expanda por Taylor de primer orden de la serie, que representan localmente la función por una línea recta. Si usted va a la segunda orden de expansión, que representan localmente la función de una parábola.

Cuando se tiene una función de $f(x,y)$ y se expanda por Taylor de primer orden de la serie, que representan localmente la función de un avión. Si usted va a la segunda orden de expansión, que representan localmente la función de un paraboloide y así sucesivamente.

Answer 5

La "cantidad" $$d^rf({\bf z}):=\sum_{k=0}^r{r\choose k}{\partial ^rf({\bf z})\over\partial x^k\partial y^{r-k}}dx^k\,dy^{r-k}$$ es un polinomio homogéneo de grado $r$ en las variables $dx$, $dy$ con los coeficientes de las distintas $r$th orden de las derivadas parciales de $f$ en el punto dado ${\bf z}$. (Originalmente, el polinomio había $2^r$ términos, pero sólo $r+1$ de ellos realmente diferente). Este polinomio se recoge todos los términos de total grado $r$ en la expansión de Taylor de $f$${\bf z}$: $$\eqalign{j^n_{\bf z}f(d{\bf z})&=\sum_{i=0}^n {1\over r!}d^rf({\bf z}) \cr&= f({\bf z})+ \bigl(f_x({\bf z})dx+ f_y({\bf z}) dy\bigr)+{1\over2}\bigl(f_{xx}({\bf z})dx^2+2 f_{xy}({\bf z})dx\,dy+ f_{yy}({\bf z})dy^2\bigr)\cr&\ \ \ +{1\over6}\bigl(f_{xxx}({\bf z})dx^3+3 f_{xxy}({\bf z})dx^2\,dy+3 f_{xyy}({\bf z})dx\,dy^2+ f_{yyy}({\bf z})dy^3\bigr)+{1\over24}\ldots\cr}$$