Una ecuación funcional

Question

¿Se puede decir algo sobre las soluciones de la siguiente ecuación funcional? $$ f (x, y + z) = f (x, y) + f (x + y, z) $$

Parece que no puedo encontrar mucho en lo que creo que son las referencias estándar en estos casos.

Gracias por cualquier consejo.

Answer 1

Tomar el $y=0$ a $f(x,z) = f(x,0) + f(x,z)$, que $f(x,0) = 0$.

$f(x,y) = g(x+y) - g(x)$ es una solución arbitraria funciones $g$. No sé si son todas las soluciones: parecen todos los que son polinomios de grado bajo.

EDICIÓN: Observar que la transformación $f(x,y) = F(x,x+y)$ y el cambio de variables $x = X, y = Y-X, z = Z - Y$ la ecuación de $$ F(X,Z) = F(X,Y)+F(Y,Z)$ $ así (tomando, decir, $Y=0$, $G(X) = F(X,0)$ y $H(Z) = F(0,Z)$ $F(X,Z) = G(X) + H(Z)$). Pero entonces $G(X) + H(Z) = G(X) + H(Y) + G(Y) + H(Z)$ que dice $G(Y) = -H(Y)$. Así que tenemos $F(X,Z) = H(Z) - H(X)$, que transforma a $f(x,y) = H(x+y) - H(x)$.

Answer 2

La hermosa idea de Robert Israel, vamos a mostrar que las soluciones de la ecuación son precisamente las funciones de la forma $f(x,y)=g(x+y)-g(x)$ donde $g$ es una función arbitraria.

En primer lugar, conectamos $z = -y$ en la ecuación. Este rendimientos $$f(x, 0) = f(x, y) + f(x + y, -y).\tag{1}$$

En el caso de $y=0$, esto nos indica que el $f(x,0)=0$ todos los $x$, como Robert Israel notado ya. El uso de este hecho en $(1)$, tenemos que $$f(x,y)=-f(x+y,-y)\tag{2}$$ must hold for all $x,y$ in order for $f$ to be a solution. We will now use this fact in the original equation. The original equation says that $$f(x, y) = f(x, y + z) - f(x + y, z)$$ holds for all $x,y,z$. Using $(2)$ twice we may rewrite this as $$f(x, y) = - f(x+y+z, - y - z) + f(x+y+z, -z)$$ Now, plug in $z=-x-y$ and get $$f(x, y) = - f(0, x) + f(0, x+y).$$ This means that if $f$ solves the original equation, we may define the function $g$ by $g(w)=f(0,w)$ and then $f(x,y)=g(x+y)-g(x)$ celebrará. Esto muestra que, de hecho, las soluciones de la ecuación son, precisamente, de la forma sugerida por Robert Israel.