Extensiones de campos numéricos que no están en todos los primos finitos

Question

Deje $k$ ser totalmente real campo de número de grado $n$.

Me gustaría saber cómo puedo determinar si existe o no una cuadrática de extensión de campo $L$ $k$ de manera tal que la extensión de $L/k$ es unramified en todo finito de números primos y se ramifica en sólo en $n-1$ de los bienes de los números primos de $k$. Supongo que esto puede ser determinado por la clase de teoría de campo. Para la aplicación que tengo en mente, sin embargo, voy a necesitar un sistema de álgebra computacional, como salvia, para ser capaz de realizar explícitamente esta prueba. Cómo explícito este puede ser hecho?

Gracias.

Answer 1

Como usted dice, en principio, la existencia de una extensión puede ser determinada utilizando la clase de teoría de campo. Existe una extensión del tipo que usted necesita si y sólo si para algunos de $T$ consta de $n-1$ lugares reales, los rayos del grupo de clase modulo $T$ es de orden divisible por 2.

Yo no sé acerca de sage, pero ray grupos de la clase puede ser calculada en MAGMA. Ahora, Magma cuesta dinero, pero tienen una calculadora en línea para abreviar los cálculos, así que si el campo no es demasiado grande, que podría ser suficiente para sus propósitos.

Si usted necesita soluciones más flexibles, valdría la pena escribir tus propios programas en algo rápido y potente lenguaje, como C. Una discusión detallada de los algoritmos para calcular ray grupos de la clase puede encontrarse en H. Cohen, Temas Avanzados Computacional de la Teoría de números, GTM 193.

Answer 2

En pari/gp (probablemente construido en sage de alguna manera).

poli=x^7 - x^6 - 12*x^5 + 7*x^4 + 28*x^3 - 14*x^2 - 9*x - 1; /* Las raíces de este polinomio se define el grado 7 subcampo K de P(zeta_29). */

nf=nfinit(poli); /* define el campo de número de K */

bnf=bnfinit(nf); /* calcula los datos asociados al campo de número K, como el grupo de la unidad.*/

bnfcertify(bnf) /* comprueba que el resultado de la bnf es correcta, y no depende de la GRH. El resultado debería ser $1$ */

bnrclass(bnf,[1,[1,1,1,1,1,1,0]]) /* Este calcula el radio del grupo de clase de conductor m, donde m es trivial lugar finito y contiene 6 de los 7 infinitos lugares. */