Deje $\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_{\alpha\in\mathcal{A}}$ $\{(U_\beta,\phi_\beta)\}_{\beta\in\mathcal{B}}$ dos liso (es $\mathcal{C}^{\infty}$) atlas en un topológico colector $M$. Por definición, el $\mathcal{C}^{\infty}$-estructuras definido por estos dos atlas son equivalentes si su unión $\{(U_\alpha,\phi_\alpha)\}_{\alpha\in\mathcal{A}\cup\mathcal{B}}$ es también un suave atlas, es decir, los mapas de transición entre los gráficos de los diferentes atlas son lisas. Puede ser demostrado, que esta definición es equivalente a decir que dos $\mathcal{C}^{\infty}$-estructuras son equivalentes si ellos determinan que el mismo conjunto de las funciones lisas $f:M\rightarrow\mathbb{R}$.
He aquí un ejemplo de dos personas que no son equivalentes $\mathcal{C}^{\infty}$-estructuras:
Considerar la topológico colector $\mathcal{N} = \mathbb{R}$ equipada con el $\mathcal{C}^{\infty}$-estructura determinada por la $\mathcal{C}^{\infty}$-atlas consta de la carta sola $(\mathbb{R}, Id)$.
El próximo considerar $\mathbb{R}$ equipada con el $\mathcal{C}^{\infty}$-estructura determinada por la $\mathcal{C}^{\infty}$-atlas consta de la carta sola $(\mathbb{R}, \phi)$ donde $\phi(x) = x^{3}$.
Ahora podemos mostrar, que cada uno de los anteriores $\mathcal{C}^{\infty}$-atlas (y por lo tanto: su $\mathcal{C}^{\infty}$-estructuras) no son equivalentes (porque, por ejemplo, el cambio de coordenadas: $[Id\circ\phi^{-1}](x)=x^{1/3}$ es no fácilmente diferenciable en a $0$), por lo tanto, el $\mathcal{C}^{\infty}$-las estructuras determinadas por ellos son diferentes.
